Questão 4 da Lista em PDF Homer Simpson tomava seu banho, quando o sabonete escorregou. Por curiosidade, o sabonete ficou estagnado sobre a sua barriga que forma um ângulo de 45^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. O sabonete tem massa 80 gramas e a base de contato com a barriga tem área de dimensões 5 mm de largura por 6 mm de comprimento. A película de fluido entre a barriga e o sabonete é de 1,5 \mathrm{~mm} e a velocidade é representada pela função abaixo. Determine a viscosidade mínima [em Kg/(m.s)] para que o sabonete permaneça em repouso. u(y)=\frac{3}{2} y^{2}+\frac{1}{3} \ln y
Passo 1
O enunciado fornece um sabonete de massa m=0{,}08\\ \mathrm{kg} apoiado numa superfície inclinada de \theta=45^\circ. Entre o sabonete e a barriga há uma película de fluido de espessura h=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e a área de contato é
A = 5\\ \mathrm{mm}\times6\\ \mathrm{mm} = 30\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
O perfil de velocidade do fluido é
u(y)=\tfrac{3}{2}\,y^2 \;+\;\tfrac{1}{3}\ln y.
Para que o sabonete não deslize, a força viscosa disponível deve equilibrar o componente do peso paralelo à superfície. Vamos aplicar a lei de Newton da viscosidade e o equilíbrio de forças.
Passo 2
A lei de Newton da viscosidade diz que a tensão de cisalhamento é
\tau(y)=\mu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}.
No limite de repouso do sabonete, a força viscosa total na base é
F_{\text{viscosa}}=\tau(h)\,A
e deve igualar a componente do peso que puxa o sabonete para baixo: