Questão 4 da Lista em PDF Homer Simpson tomava seu banho, quando o sabonete escorregou. Por curiosidade, o sabonete ficou estagnado sobre a sua barriga que forma um ângulo de 45^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. O sabonete tem massa 80 gramas e a base de contato com a barriga tem área de dimensões 5 mm de largura por 6 mm de comprimento. A película de fluido entre a barriga e o sabonete é de 1,5 \mathrm{~mm} e a velocidade é representada pela função abaixo. Determine a viscosidade mínima [em Kg/(m.s)] para que o sabonete permaneça em repouso.
u(y)=\frac{3}{2} y^{2}+\frac{1}{3} \ln y

Passo 1

O enunciado fornece um sabonete de massa m=0{,}08\\ \mathrm{kg} apoiado numa superfície inclinada de \theta=45^\circ. Entre o sabonete e a barriga há uma película de fluido de espessura h=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e a área de contato é
A = 5\\ \mathrm{mm}\times6\\ \mathrm{mm} = 30\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
O perfil de velocidade do fluido é
u(y)=\tfrac{3}{2}\,y^2 \;+\;\tfrac{1}{3}\ln y.
Para que o sabonete não deslize, a força viscosa disponível deve equilibrar o componente do peso paralelo à superfície. Vamos aplicar a lei de Newton da viscosidade e o equilíbrio de forças.

Passo 2

A lei de Newton da viscosidade diz que a tensão de cisalhamento é
\tau(y)=\mu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}.
No limite de repouso do sabonete, a força viscosa total na base é
F_{\text{viscosa}}=\tau(h)\,A
e deve igualar a componente do peso que puxa o sabonete para baixo:
mg\sin\theta.

Passo 3

Derivamos o perfil de velocidade:
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=3y+\frac{1}{3y}.
Em y=h, isso vale
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=h} =3h+\frac{1}{3h}.

Passo 4

Igualando as forças,
\mu\Bigl(3h+\tfrac{1}{3h}\Bigr)\,A \;=\;mg\sin\theta
e isolando \mu, obtemos
\mu = \frac{mg\sin\theta}{\bigl(3h+\tfrac{1}{3h}\bigr)\,A}.

Passo 5

Calculamos numericamente:
3h+\frac{1}{3h} =3\cdot1{,}5\times10^{-3}+\frac{1}{3\cdot1{,}5\times10^{-3}} =0{,}0045+222{,}222\approx222{,}2265\\ \mathrm{s^{-1}},
mg\sin\theta =0{,}08\cdot9{,}81\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}555\\ \mathrm{N}.
Logo,
\mu =\frac{0{,}555}{222{,}2265\times30\times10^{-6}} \approx83{,}3\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

A viscosidade mínima exigida para que o sabonete permaneça em repouso é aproximadamente
\boxed{\,83{,}3\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.}

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