19d) Se u1, u2 é um conjunto de vetores LI (linearmente independentes) de V, então u1, u2, 0 é também LI em V;

Passo 1

O enunciado afirma que, se u1,u2 é um conjunto de vetores linearmente independentes em V, então u1,u2,0 também seria linearmente independente em V. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear de um conjunto de vetores.

Passo 2

Por definição, um conjunto v1,v2,dots,vk é linearmente independente se a única solução do sistema
alpha1v1 + alpha2v2 + cdots + alphakvk = 0
é alpha1=alpha2=cdots=alphak=0. Caso exista alguma solução com algum alphaineq0, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Agora analiso o conjunto u1,u2,0. Seja
alpha1u1 + alpha2u2 + alpha3cdot 0 = 0
Como 0 é o vetor nulo, isso equivale a
alpha1u1 + alpha2u2 = 0
Pela independência de u1,u2 segue que alpha1=alpha2=0. Porém, alpha3 pode ser qualquer escalar: mesmo que alpha3neq0, ainda teremos
alpha1u1 + alpha2u2 + alpha3,0 = 0
Ou seja, existe uma combinação não trivial (com alpha3neq0) que gera o vetor zero.

Passo 4

Como encontramos coeficiente alpha3neq0 que satisfaz a relação de dependência, concluímos que qualquer conjunto que contenha o vetor zero é linearmente dependente.

Resposta

A afirmação é falsa.

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