19d) Se
é um conjunto de vetores LI (linearmente independentes) de V, então
é também LI em V;
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é um conjunto de vetores linearmente independentes em
, então
também seria linearmente independente em
. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear de um conjunto de vetores.
Passo 2
Por definição, um conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Caso exista alguma solução com algum
, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Agora analiso o conjunto
. Seja
Como
é o vetor nulo, isso equivale a
Pela independência de
segue que
. Porém,
pode ser qualquer escalar: mesmo que
, ainda teremos
Ou seja, existe uma combinação não trivial (com
) que gera o vetor zero.
Passo 4
Como encontramos coeficiente
que satisfaz a relação de dependência, concluímos que qualquer conjunto que contenha o vetor zero é linearmente dependente.
Resposta
A afirmação é falsa.