- De quantas maneiras isto é possível escrever o polinômio
como combinação linear dos polinômios
?. Escreva uma delas, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o polinômio
como combinação linear dos polinômios
,
,
e
.
O conteúdo usado aqui é espaço vetorial de polinômios e combinação linear, que reduz a um sistema linear obtido igualando coeficientes.
O conteúdo usado aqui é espaço vetorial de polinômios e combinação linear, que reduz a um sistema linear obtido igualando coeficientes.
Passo 2
Sejam
escalares tais que
Agrupando termos em
,
e constante, obtemos o sistema
Passo 3
Temos
equações e
incógnitas, logo o sistema admite infinitas soluções (grau de liberdade
).
Da primeira equação segue .
Da terceira equação segue
Da primeira equação segue
Da terceira equação segue
Substituindo em
dá
Logo escolhemos
como parâmetro livre e determinamos
em função de
.
Passo 4
Para obter uma solução concreta, tomemos
.
Então
Então
Passo 5
Substituindo
,
,
,
na combinação, obtemos
Resposta
Existem infinitas maneiras de escrever
como combinação linear dos polinômios dados.
Uma delas é:
Uma delas é: