1. De quantas maneiras isto é possível escrever o polinômio x^4+6 x^2+7 como combinação linear dos polinômios x^4-2 x^2, 2 x^2-3, x^4-2 e x^2+1 ?. Escreva uma delas, se possível.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio ,x^4+6x^2+7 como combinação linear dos polinômios
,x^4-2x^2, ,2x^2-3, ,x^4-2 e ,x^2+1.
O conteúdo usado aqui é espaço vetorial de polinômios e combinação linear, que reduz a um sistema linear obtido igualando coeficientes.

Passo 2

Sejam a,b,c,d escalares tais que
a,(x^4-2x^2) ;+; b,(2x^2-3) ;+; c,(x^4-2) ;+; d,(x^2+1) ;=; x^4+6x^2+7
Agrupando termos em x^4, x^2 e constante, obtemos o sistema
a + c = 1,
-2a + 2b + d = 6,
-3b -2c + d = 7

Passo 3

Temos 3 equações e 4 incógnitas, logo o sistema admite infinitas soluções (grau de liberdade 1).
Da primeira equação segue c=1-a.
Da terceira equação segue
d = 7 + 3b + 2c = 7 + 3b + 2(1-a) = 9 + 3b - 2a
Substituindo em -2a + 2b + d = 6
-2a + 2b + (9 + 3b -2a) = 6 ;Longrightarrow; -4a +5b = -3 ;Longrightarrow; 4a -5b = 3
Logo escolhemos b como parâmetro livre e determinamos a,c,d em função de b.

Passo 4

Para obter uma solução concreta, tomemos b=1.
Então
4a -5cdot1 = 3 ;Longrightarrow; 4a = 8 ;Longrightarrow; a = 2,
c = 1 - a = -1, d = 9 + 3cdot1 - 2cdot2 = 9 +3 -4 = 8

Passo 5

Substituindo a=2, b=1, c=-1, d=8 na combinação, obtemos
2,(x^4-2x^2) +1,(2x^2-3) -1,(x^4-2) +8,(x^2+1) = x^4+6x^2+7

Resposta

Existem infinitas maneiras de escrever x^4+6x^2+7 como combinação linear dos polinômios dados.
Uma delas é:
2(x^4-2x^2) ; + ; (2x^2-3) ; - ; (x^4-2) ; + ; 8(x^2+1) ;=; x^4+6x^2+7

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