1. a) Mostre que, se os vetores u, v e w são LI, então os vetores (u+v),(u+w) e(v+w) também são LI. E os vetores (u+v),(u-v) e(u-2 v+w) são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado diz que u,v,w são vetores linearmente independentes e pede:
  1. Mostrar que os vetores
u+v, u+w, v+w
também são LI.
2. Verificar se os vetores
u+v, u-v, u-2v+w
são LI ou LD.
Conteúdo: definição de independência linear e manipulação de combinações lineares.

Passo 2

Para a primeira parte, suponha que existe uma combinação linear trivial ou não
a(u+v) + b(u+w) + c(v+w) ;=; 0
Expandindo e agrupando pelos vetores u,v,w, obtemos
(a + b),u ;+;(a + c),v;+;(b + c),w ;=; 0

Passo 3

Como
Somando as duas primeiras equações dá segue . Então e . Logo só há a solução trivial e é LI.

Passo 4

Para a segunda parte, considere
alpha(u+v) + beta(u-v) + gamma(u-2v+w) ;=; 0
Expandindo e agrupando, ficamos com
(alpha + beta + gamma),u ;+;(alpha - beta - 2gamma),v ;+;gamma,w ;=; 0

Passo 5

Pela independência de
De e , logo . Só a solução trivial existe, portanto também é LI.

Resposta

Em ambos os casos os vetores formam um conjunto linearmente independente.

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