7b) Mostre que os vetores v=(1,1,1), u=(1,2,3) e w=(1,0,1) geram o R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
v=(1,1,1), u=(1,2,3), w=(1,0,1)
geram R^3. Em outras palavras, precisamos ver que qualquer vetor (x,y,z)inR^3 pode ser escrito como combinação linear de v,u,w. Um jeito bem direto em R^3 é verificar se esses três vetores são linearmente independentes, pois três vetores LI formam base de R^3 e, portanto, geram todo o espaço.

Passo 2

Para testar a independência, montamos a matriz A cujas colunas são exatamente v, u e w:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 0 1 & 3 & 1
Em R^3, essa família é LI se, e somente se,
det(A)neq 0

Passo 3

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotl(2cdot1 - 0cdot3r) -1cdotl(1cdot1 - 0cdot1r) +1cdotl(1cdot3 - 2cdot1r)
Isso dá
det(A)=1cdot2 - 1cdot1 +1cdot(3-2) =2 - 1 + 1 =2

Passo 4

Como det(A)=2neq0, concluímos que v,u,w são linearmente independentes. Logo eles formam uma base de R^3 e, em particular, geram R^3.

Resposta

Os vetores v, u e w geram R^3, pois a matriz formada por eles tem determinante 2neq0, o que garante que são linearmente independentes.

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