1. (ITAIPU BINACIONAL - Profissional de Nivel Superior Júnior - 2017) Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores w1=(1,0,1,1), w2=(0,1,1,-1), w3=(1,1,2,0) e w4=(1,3,4,-2). Qual é a dimensão de W?

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubseteqR^4 gerado pelos vetores
w1=(1,0,1,1), w2=(0,1,1,-1), w3=(1,1,2,0), w4=(1,3,4,-2)
e pede a dimensão de W. Para isso, precisamos encontrar o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles, ou seja, o posto da família geradora.

Passo 2

Verificamos se w3 é combinação linear de w1 e w2. De fato,
w1+w2 =(1,0,1,1)+(0,1,1,-1) =(1,1,2,0) =w3
Logo w3 é dependente de w1 e w2.

Passo 3

Analisamos w4. Observa-se que
w1+3,w2 =(1,0,1,1)+3,(0,1,1,-1) =(1,3,4,-2) =w4
Portanto w4 também é combinação de w1 e w2.

Passo 4

Como w3 e w4 dependem de w1 e w2, a família geradora reduz-se a w1,w2, que são claramente independentes. Assim uma base de W tem 2 vetores.

Resposta

A dimensão de W é 2.

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