a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+a^n-3 b^2+a^n-4 b^3+cdots+a^2 b^n-3+a b^n-2+b^n-1)

Passo 1

Estamos diante da identidade que expressa a diferença de potências de expoente inteiro positivo como um produto envolvendo uma soma de termos (conteúdo: fatoração via soma de progressão geométrica). Definimos a soma dos termos internos como S = a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b^2 + cdots + a b^n-2 + b^n-1. Assim, queremos mostrar que (a-b)S = a^n - b^n.

Passo 2

Multiplicamos S por a e por b separadamente:
aS = a^n + a^n-1b + a^n-2b^2 + cdots + a^2b^n-2 + a b^n-1,
bS = a^n-1b + a^n-2b^2 + cdots + a b^n-1 + b^n

Passo 3

Subtraímos bS de aS (isso corresponde a multiplicar S por a-b) e vemos que todos os termos intermediários cancelam em efeito telescópico, sobrando apenas os extremos:
(a-b)S = aS - bS = a^n - b^n Portanto, a soma S escolhida satisfaz a identidade proposta.

Resposta

a^n - b^n = (a - b)l(a^n-1 + a^n-2b + cdots + ab^n-2 + b^n-1

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