1a Questão ( 15 pontos) Verifique se a série abaixo é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}
Esse é um caso clássico de série geométrica (ou que pode ser reduzida a ela). Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e, se convergir, calcular a soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a evidenciar a forma geométrica. Note que
\frac{\pi^{n}}{3^{n+1}} =\frac{1}{3}\,\frac{\pi^n}{3^n} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^{\!n}.
Logo a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^{n}}{3^{n+1}} =\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^{\!n}.

Passo 3

Para a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^n sabemo­s que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui o “ra­cio” é
r=\frac{\pi}{3}.
Como \pi\approx3,14, temos \frac{\pi}{3}>1. Portanto \lvert r\rvert>1 e a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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