3a Questão (50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta! \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 n+3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n + 3^n}
é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação para séries de termos não negativos, comparando com uma série geométrica.
Passo 2
Observamos que, para todo n\ge1, temos
3n + 3^n \;\ge\; 3^n,
pois 3n\ge0. Logo, os termos da nossa série satisfazem
0 \le \frac{1}{3n + 3^n} \;\le\; \frac{1}{3^n}.
Passo 3
A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}
é geométrica de razão \tfrac13, e como \bigl|\tfrac13\bigr|<1 ela converge. Pelo teste de comparação, se uma série com termos não negativos é menor termo a termo que outra convergente, então ela também converge.
Resposta
A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n + 3^n}
converge, por comparação com a série geométrica de razão \tfrac13.