Uma massa de 4,0 \mathrm{~kg} está presa em uma mola de constante elástica 240 \mathrm{N} / \mathrm{m}. Uma força externa \mathrm{F}_{\text {ext }}=40 sen 4t atua sobre o sistema. A massa é deslocada de 0,1 \mathrm{~m} da posição de equilíbrio e depois solta a partir do repouso. Determine a posição da massa em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento com massa m=4{,}0\:\mathrm{kg}, constante elástica k=240\:\mathrm{N/m} e força externa \;F_{\text{ext}}=40\sin(4t). Vamos modelar por uma EDO de segunda ordem forçada e resolver encontrando a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

A equação de movimento é
m\,x''+k\,x=F_{\text{ext}},
isto é,
4\,x''+240\,x=40\sin(4t).
Dividindo por 4 temos
x''+60\,x=10\sin(4t).
Aqui a frequência natural é \omega_0=\sqrt{60} e a frequência de forçamento é \Omega=4.

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
x_p(t)=A\sin(4t).
Então x_p''=-16A\sin(4t). Substituindo em x''+60x=10\sin(4t)
(-16A)+60A=10 \quad\Longrightarrow\quad A(60-16)=10 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{10}{44}=\frac{5}{22}.
Logo
x_p(t)=\frac{5}{22}\sin(4t).

Passo 4

A solução homogênea de
x''+60x=0
é
x_h(t)=C\cos\bigl(\sqrt{60}\,t\bigr)+D\sin\bigl(\sqrt{60}\,t\bigr).

Passo 5

Impondo x(0)=0{,}1 e x'(0)=0:
  • Em t=0:
x(0)=C + x_p(0)=C+0=0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad C=0{,}1.
  • Derivando x(t)=x_h+x_p:
x'(t)=-C\sqrt{60}\sin(\sqrt{60}t) +D\sqrt{60}\cos(\sqrt{60}t) +\frac{5}{22}\cdot4\cos(4t).
Em t=0 isso vale
0=D\sqrt{60}+\frac{20}{22} =D\sqrt{60}+\frac{10}{11} \quad\Longrightarrow\quad D=-\frac{10}{11\sqrt{60}}.

Passo 6

A solução geral é
x(t)=x_h(t)+x_p(t) =0{,}1\cos\bigl(\sqrt{60}\,t\bigr) -\frac{10}{11\sqrt{60}}\sin\bigl(\sqrt{60}\,t\bigr) +\frac{5}{22}\sin(4t).

Resposta

x(t)=0{,}1\cos\bigl(\sqrt{60}\,t\bigr) -\frac{10}{11\sqrt{60}}\sin\bigl(\sqrt{60}\,t\bigr) +\frac{5}{22}\sin(4t).

Exercícios relacionados