4 ㅡㅡ Questão ( 30 pontos) Faça o que se pede:
a) Escreva a fórmula para a série de Taylor, centrada em a, para uma função qualquer f(x).
b) Encontre a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right) e o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a fórmula geral da série de Taylor de uma função f(x) centrada em um ponto a; (b) a expansão em série de Maclaurin (caso a=0) para f(x)=\operatorname{sen}(x^2) e seu raio de convergência. Vamos usar definição de séries de potências e testes de convergência.

Passo 2

A definição de série de Taylor de f em torno de x=a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^{n},
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a.

Passo 3

Para obter a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(x^2) usamos a expansão conhecida
\operatorname{sen} u=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\;u^{2k+1}.
Aqui fazemos u=x^{2}, logo
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\,\bigl(x^{2}\bigr)^{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\;x^{4k+2}.

Passo 4

Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão ao termo geral \displaystyle a_{k}=\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\,x^{4k+2}.
Calculamos
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{4(k+1)+2}/(2k+3)!}{|x|^{4k+2}/(2k+1)!} =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{4}}{(2k+3)(2k+2)}=0.
Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para qualquer valor de x. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

(a)
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^{n}.
(b)
\operatorname{sen}(x^{2}) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\;x^{4k+2},
Raio de convergência: infinito.

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