1a Questão (25 pontos):
Calcule
, onde
é o sólido delimitado pelos cilindros
e
e pelos planos
e
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido limitado pelos cilindros
e
e pelos planos
e
.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, usando ,
,
e o jacobiano
.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, usando
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
,
logo o domínio radial vai de até
, o ângulo
vai de
até
e
varia de
até
. O elemento de volume é
.
logo o domínio radial vai de
Passo 3
Reescrevendo a integral em cilíndricas:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Assim a integral fica
Passo 5
Separe em duas partes:
-
, logo o termo não contribui. - Resta