1a Questão (25 pontos):
Calcule \iiint_{E} 2 d V, onde E é o sólido delimitado pelos cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z=x+y+5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}2\,dV,
onde E é o sólido limitado pelos cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos z=0 e z=x+y+5.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z e o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
\,x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo o domínio radial vai de r=2 até r=3, o ângulo \theta vai de 0 até 2\pi e z varia de 0 até z=r\cos\theta + r\sin\theta +5. O elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Reescrevendo a integral em cilíndricas:
\iiint_{E}2\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=2}^{3}\int_{z=0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5}2\;r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5}2r\,dz =2r\Bigl[z\Bigr]_{0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5} =2r\bigl(r(\cos\theta+\sin\theta)+5\bigr).
Assim a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}\bigl(2r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)+10r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separe em duas partes:
  1. \displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta=0, logo o termo 2r^{2}(\cos\theta+\sin\theta) não contribui.
  2. Resta
\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta\;\int_{2}^{3}10r\,dr =2\pi\;\bigl[5r^{2}\bigr]_{2}^{3} =2\pi\,(5\,(9-4)) =2\pi\cdot25 =50\pi.

Resposta

50\pi

Exercícios relacionados