2^{\text {a }} Questão ( 25 pontos):
Calcule \iiint_{B} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d V, onde E é o sólido entre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral
\iiint_{B} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV
onde B é o sólido entre a esfera de raio 1 e a esfera de raio 2. O conteúdo principal é mudar para coordenadas esféricas para aproveitar a simetria radial.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
x = r \sin\theta\cos\varphi,\quad y = r \sin\theta\sin\varphi,\quad z = r \cos\theta
com r\ge0, 0\le\theta\le\pi e 0\le\varphi<2\pi. O elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Passo 3
A função integranda é
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} = \frac{1}{r},
portanto o produto integrando vezes dV fica
\frac{1}{r}\;r^{2}\sin\theta = r\sin\theta.
Passo 4
Os limites para r são de 1 a 2, para \theta de 0 a \pi, e para \varphi de 0 a 2\pi. Assim o integral vira