2^{\text {a }} Questão ( 25 pontos):
Calcule \iiint_{B} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d V, onde E é o sólido entre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
\iiint_{B} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV
onde B é o sólido entre a esfera de raio 1 e a esfera de raio 2. O conteúdo principal é mudar para coordenadas esféricas para aproveitar a simetria radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = r \sin\theta\cos\varphi,\quad y = r \sin\theta\sin\varphi,\quad z = r \cos\theta
com r\ge0, 0\le\theta\le\pi e 0\le\varphi<2\pi. O elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

A função integranda é
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} = \frac{1}{r},
portanto o produto integrando vezes dV fica
\frac{1}{r}\;r^{2}\sin\theta = r\sin\theta.

Passo 4

Os limites para r são de 1 a 2, para \theta de 0 a \pi, e para \varphi de 0 a 2\pi. Assim o integral vira
\iiint_{B}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{1}^{2}r\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Podemos separar os integrais:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \;\times\; \int_{1}^{2}r\,dr.
Calculando cada um:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,\quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2,\quad \int_{1}^{2}r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}.
Multiplicando dá
2\pi \times 2 \times \frac{3}{2} = 6\pi.

Resposta

O valor do integral é 6\pi.

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