3^{\underline{\mathrm{a}}} Questão (25 pontos):
Calcule \int_{0}^{1} \int_{2 y}^{2} 4 e^{x^{2}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}4e^{x^{2}}\,dx\,dy,
que é um problema de cálculo de integrais duplas e troca de ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração R no plano xy. Temos
0\le y\le1 \quad\text{e}\quad 2y\le x\le2.
Isso é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,1). Para trocar a ordem, expressamos y em função de x: da condição 2y\le x segue 0\le y\le x/2, e como x vai de 2y até 2 quando y varia de 0 a 1, concluímos que x varia de 0 a 2. Logo a mesma região é
0\le x\le2, \quad 0\le y\le\tfrac{x}{2}.

Passo 3

Trocar a ordem de integração facilita porque a primitiva de 4e^{x^{2}} em x não é elementar, mas em y é imediata. Assim
\int_{0}^{1}\!\int_{2y}^{2}4e^{x^{2}}\,dx\,dy =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{x/2}4e^{x^{2}}\,dy\,dx.
Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{x/2}4e^{x^{2}}\,dy =4e^{x^{2}}\bigl[y\bigr]_{0}^{x/2} =4e^{x^{2}}\cdot\frac{x}{2} =2x\,e^{x^{2}}.
Então a integral vira
\int_{0}^{2}2x\,e^{x^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{2}, logo du=2x\,dx, e os limites vão de u(0)=0 até u(2)=4. Portanto
\int_{0}^{2}2x\,e^{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{4}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{4} =e^{4}-e^{0} =e^{4}-1.

Resposta

e^{4}-1.

Exercícios relacionados