Questão (25 pontos):
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
que é um problema de cálculo de integrais duplas e troca de ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos descrever a região de integração
no plano
. Temos
Isso é um triângulo com vértices em
,
e
. Para trocar a ordem, expressamos
em função de
: da condição
segue
, e como
vai de
até
quando
varia de
a
, concluímos que
varia de
a
. Logo a mesma região é
Passo 3
Trocar a ordem de integração facilita porque a primitiva de
em
não é elementar, mas em
é imediata. Assim
Calculamos primeiro a integral em
:
Então a integral vira
Fazemos a substituição
, logo
, e os limites vão de
até
. Portanto