4ㄹ. Questão (25 pontos):
Calcule a massa do sólido de densidade de massa constante e uniforme
limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
, acima do plano
.
Calcule a massa do sólido de densidade de massa constante e uniforme
Passo 1
O enunciado pede a massa de um sólido de densidade uniforme
limitado lateralmente pelo cilindro
, acima do plano
(ou seja,
) e abaixo do paraboloide
. O conteúdo principal é usar coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido e depois multiplicar pela densidade.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
com o Jacobiano
. Nessas coordenadas o cilindro vira
, o plano
vira
e o paraboloide vira
.
Passo 3
Os limites para a integração tripla são
O volume do sólido é
Passo 4
Calculamos o volume:
Passo 5
Como a densidade é constante igual a 8, a massa é
Resposta
A massa do sólido é
.