4ㄹ. Questão (25 pontos):
Calcule a massa do sólido de densidade de massa constante e uniforme \delta(x, y, z)=8 limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=2, acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um sólido de densidade uniforme \delta(x,y,z)=8 limitado lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=2, acima do plano xy (ou seja, z\ge0) e abaixo do paraboloide z=x^2+y^2. O conteúdo principal é usar coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido e depois multiplicar pela densidade.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com o Jacobiano r. Nessas coordenadas o cilindro vira r=\sqrt{2}, o plano xy vira z=0 e o paraboloide vira z=r^2.

Passo 3

Os limites para a integração tripla são
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le \sqrt{2},\quad 0 \le z \le r^2.
O volume do sólido é
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{z=0}^{r^2} r \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calculamos o volume:
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}} \Bigl[r\,z\Bigr]_{z=0}^{z=r^2}\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}} r\,(r^2)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3\,\mathrm{d}r = 2\pi \left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2\pi\cdot\frac{(\sqrt{2})^4}{4} = 2\pi.

Passo 5

Como a densidade é constante igual a 8, a massa é
m = \delta \,V = 8 \times 2\pi = 16\pi.

Resposta

A massa do sólido é 16\pi.

Exercícios relacionados