4 ª Questão (25 pontos):
Calcule \iint_{D} \frac{x^{2}}{4} d A onde D é a região no plano x y da região limitada pelas curvas y=x-x^{2} е y=x-4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{x^{2}}{4}\,dA
onde D é a região do plano limitada pelas curvas
y = x - x^{2} \quad\text{e}\quad y = x - 4.
O conteúdo principal é integrar em uma região entre duas curvas. Vamos precisar
  1. Encontrar as abscissas de interseção.
  2. Determinar qual curva é limite superior e qual é limite inferior em y.
  3. Montar a integral iterada e calculá-la passo a passo.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x - x^{2} = x - 4.
Cancelando x de ambos os lados, vem
-\,x^{2} = -\,4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2,\;2.

Passo 3

Para ver qual curva é o limite superior em y, avaliamo-as num valor intermediário, por exemplo x=0:
x - x^{2}\big|_{x=0} = 0, \quad x - 4\big|_{x=0} = -4.
Logo y = x - x^{2} fica acima de y = x - 4. Portanto
D = \{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\;x-4\le y\le x - x^{2}\}.

Passo 4

Escrevemos a integral iterada, integrando primeiro em y:
\iint_{D}\frac{x^{2}}{4}\,dA = \int_{x=-2}^{2}\int_{y=x-4}^{\,x-x^{2}}\frac{x^{2}}{4}\,dy\,dx.
Como \frac{x^{2}}{4} independe de y, ao integrar em y obtemos
\int_{y=x-4}^{x-x^{2}}\frac{x^{2}}{4}\,dy = \frac{x^{2}}{4}\Bigl[(x - x^{2}) - (x - 4)\Bigr] = \frac{x^{2}}{4}\bigl(4 - x^{2}\bigr).

Passo 5

Agora a integral em x:
\iint_{D}\frac{x^{2}}{4}\,dA = \int_{-2}^{2}\frac{x^{2}(4 - x^{2})}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int_{-2}^{2}\bigl(4x^{2} - x^{4}\bigr)\,dx.
Como a função é par,
\int_{-2}^{2}(4x^{2}-x^{4})\,dx = 2\int_{0}^{2}(4x^{2}-x^{4})\,dx.
Calculemos
\int_{0}^{2}4x^{2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{32}{3}, \quad \int_{0}^{2}x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = \frac{32}{5}.
Logo
\int_{0}^{2}(4x^{2}-x^{4})\,dx = \frac{32}{3} - \frac{32}{5} = 32\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) = 32\cdot\frac{2}{15} = \frac{64}{15}.
Multiplicando por 2 e depois por \tfrac{1}{4}:
\iint_{D}\frac{x^{2}}{4}\,dA = \frac{1}{4}\cdot 2\cdot\frac{64}{15} = \frac{64}{30} = \frac{32}{15}.

Resposta

\boxed{\frac{32}{15}}.

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