4 ª Questão (25 pontos):
Calcule
onde
é a região no plano
da região limitada pelas curvas
е
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do plano limitada pelas curvas
O conteúdo principal é integrar em uma região entre duas curvas. Vamos precisar
- Encontrar as abscissas de interseção.
- Determinar qual curva é limite superior e qual é limite inferior em
. - Montar a integral iterada e calculá-la passo a passo.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos
Cancelando
de ambos os lados, vem
Passo 3
Para ver qual curva é o limite superior em
, avaliamo-as num valor intermediário, por exemplo
:
Logo
fica acima de
. Portanto
Passo 4
Escrevemos a integral iterada, integrando primeiro em
:
Como
independe de
, ao integrar em
obtemos
Passo 5
Agora a integral em
:
Como a função é par,
Calculemos
Logo
Multiplicando por
e depois por
: