1a Questão ( 25 pontos):
Encontre o volume do sólido delimitado pelos planos z=8-4 x-2 y, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido delimitado por alguns planos: z = 8 - 4x - 2y , x = 0 , y = 0 e z = 0 . Isso está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integração múltipla para encontrar volumes. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral dupla para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a área de projeção desse sólido no plano xy . Os planos x = 0 e y = 0 são os eixos y e x respectivamente. O plano z = 0 é o próprio plano xy . Então, a região sobre a qual vamos integrar está onde x e y são positivos e z = 8 - 4x - 2y está acima de zero.

Passo 3

Vamos encontrar os limites de integração. Para que z = 8 - 4x - 2y >= 0 :
8 - 4x - 2y >= 0
4x + 2y <= 8
Dividindo tudo por 2:
2x + y <= 4
Então, a região de integração no plano xy é dada por y indo de 0 até 4 - 2x e x indo de 0 até 2.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar o volume. O volume V será:
V = integralx=0^2 integraly=0^4-2x (8 - 4x - 2y) , dy , dx
Aqui, 8 - 4x - 2y é a função que representa a altura do sólido em cada ponto (x, y) .

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a y :
integral0^4-2x (8 - 4x - 2y) , dy = [ 8y - 4x y - y^2 ]0^4-2x
Substituindo os limites:
= 8(4 - 2x) - 4x(4 - 2x) - (4 - 2x)^2
Simplificando:
= 32 - 16x - 16x + 8x^2 - (16 - 16x + 4x^2)
= 32 - 32x + 8x^2 - 16 + 16x - 4x^2
= 16 - 16x + 4x^2

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x :
V = integral0^2 (16 - 16x + 4x^2) , dx = [ 16x - 8x^2 + 43x^3 ]0^2
Substituindo os limites:
= 16(2) - 8(2)^2 + 43(2)^3 - (0)
= 32 - 32 + 323
= 323

Resposta

O volume do sólido é 323 unidades cúbicas.

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