1a Questão ( 25 pontos):
Encontre o volume do sólido delimitado pelos planos
e
.
Encontre o volume do sólido delimitado pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido delimitado por alguns planos:
,
,
e
. Isso está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integração múltipla para encontrar volumes. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral dupla para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a área de projeção desse sólido no plano
. Os planos
e
são os eixos
e
respectivamente. O plano
é o próprio plano
. Então, a região sobre a qual vamos integrar está onde
e
são positivos e
está acima de zero.
Passo 3
Vamos encontrar os limites de integração. Para que
:
Dividindo tudo por 2:
Então, a região de integração no plano
é dada por
indo de 0 até
e
indo de 0 até 2.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para encontrar o volume. O volume
será:
Aqui,
é a função que representa a altura do sólido em cada ponto
.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.