Calcule
integral(2 x-3)(4 x^2+1) d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral integral(2x - 3)(4x^2 + 1) , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde a gente aprende a encontrar a antiderivada de funções. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade distributiva para expandir a expressão e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (2x - 3)(4x^2 + 1). Isso significa multiplicar cada termo de uma expressão por cada termo da outra:
(2x)(4x^2) + (2x)(1) + (-3)(4x^2) + (-3)(1)

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
2x cdot 4x^2 = 8x^3
2x cdot 1 = 2x
-3 cdot 4x^2 = -12x^2
-3 cdot 1 = -3
Então, a expressão expandida fica:
8x^3 + 2x - 12x^2 - 3

Passo 4

Agora, vamos reorganizar os termos em ordem decrescente de potência para facilitar a integração:
8x^3 - 12x^2 + 2x - 3

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que integral x^n , dx = x^n+1n+1 e integral a , dx = a x, onde a é uma constante.
Integrando cada termo:
integral 8x^3 , dx = 8 cdot x^44 = 2x^4
integral -12x^2 , dx = -12 cdot x^33 = -4x^3
integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2
integral -3 , dx = -3x

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
2x^4 - 4x^3 + x^2 - 3x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral(2x - 3)(4x^2 + 1) , dx é igual a:
2x^4 - 4x^3 + x^2 - 3x + C

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