Questão ( 25 pontos):
Calcule a integral , em que é a região limitada entre a curva e o eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A questão nos pede para calcular essa integral onde a região está entre a curva e o eixo . Isso envolve cálculo integral, especificamente em coordenadas cartesianas e possivelmente usando mudança para coordenadas polares, já que temos na função. Vamos precisar entender como definir a região de integração e escolher a melhor coordenada para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A curva é a parte superior do círculo de raio 2 centrado na origem, já que . E o eixo é . Portanto, é a semicircunferência superior do círculo de raio 2.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e . A área em coordenadas polares é . A função na integral fica .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos trabalhando com a semicircunferência superior:
varia de 0 até 2 (raio do círculo).
varia de 0 até (para cobrir de a graus, que é a parte superior do círculo).
Passo 5
Escrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
Isso simplifica o cálculo porque agora estamos integrando em termos de e , que são mais adequados para regiões circulares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para resolver isso, podemos fazer uma substituição:
Deixe , então .
Rearranjando, .
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa: