2^ a Questão ( 25 pontos):
Calcule a integral integral duplaD e^-(x^2+y^2) / 4 d A, em que D é a região limitada entre a curva y=raiz4-x^2 e o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) / 4 , dA. A questão nos pede para calcular essa integral onde a região D está entre a curva y = raiz4 - x^2 e o eixo x. Isso envolve cálculo integral, especificamente em coordenadas cartesianas e possivelmente usando mudança para coordenadas polares, já que temos x^2 + y^2 na função. Vamos precisar entender como definir a região de integração e escolher a melhor coordenada para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A curva y = raiz4 - x^2 é a parte superior do círculo de raio 2 centrado na origem, já que x^2 + y^2 = 4. E o eixo x é y = 0. Portanto, D é a semicircunferência superior do círculo de raio 2.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta, e x^2 + y^2 = r^2. A área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta. A função na integral fica e^-r^2 / 4.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos trabalhando com a semicircunferência superior:
  • r varia de 0 até 2 (raio do círculo).
  • theta varia de 0 até pi (para cobrir de 0 a 180 graus, que é a parte superior do círculo).

Passo 5

Escrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
integral0^pi integral0^2 e^-r^2/4 cdot r , dr , dtheta
Isso simplifica o cálculo porque agora estamos integrando em termos de r e theta, que são mais adequados para regiões circulares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^2 r e^-r^2/4 , dr
Para resolver isso, podemos fazer uma substituição:
  • Deixe u = -r^2/4, então du = -r2 dr.
  • Rearranjando, -2 du = r dr.
Então, a integral se torna:
-2 integralu(0)^u(2) e^u , du = -2 (e^u) |u(0)^u(2) = -2 (e^-4/4 - e^0) = -2 (e^-1 - 1) = 2 (1 - e^-1)

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^pi 2 (1 - e^-1) , dtheta = 2 (1 - e^-1) cdot theta |0^pi = 2 (1 - e^-1) cdot pi = 2pi (1 - e^-1)

Resposta

A integral integral duplaD e^-(x^2+y^2) / 4 , dA vale 2pi (1 - e^-1).

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