Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
y=x cotgh(1+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função y = x cotgh(1 + x^2) . Isso envolve o conteúdo de Derivadas, especificamente a Regra do Produto e a derivada de funções hiperbólicas. Vamos precisar conhecer como diferenciar o produto de duas funções e saber a derivada da cotangente hiperbólica.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão multiplicando: u = x e v = cotgh(1 + x^2) . Para usar a Regra do Produto, precisamos derivar cada uma separadamente.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de u = x . Isso é simples:
u' = ddxx = 1

Passo 4

Agora, vamos derivar v = cotgh(1 + x^2) . Lembre-se que a derivada de cotgh(z) é:
ddzcotgh(z) = -csch^2(z)
Então, aplicando a regra da cadeia, temos:
v' = -csch^2(1 + x^2) cdot ddx(1 + x^2)
v' = -csch^2(1 + x^2) cdot 2x
v' = -2x csch^2(1 + x^2)

Passo 5

Agora, aplique a Regra do Produto que diz que (u cdot v)' = u'v + uv' :
dydx = u'v + uv'
Substituindo u' , v e v' que encontramos:
dydx = 1 cdot cotgh(1 + x^2) + x cdot (-2x csch^2(1 + x^2))
dydx = cotgh(1 + x^2) - 2x^2 csch^2(1 + x^2)

Resposta

A derivada da função é:
dydx = cotgh(1 + x^2) - 2x^2 csch^2(1 + x^2)

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