1a Questão (80 pontos) Calcule as integrais:
(10 pontos ) \int \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}.
O conteúdo aqui é integração por substituição, transformando o radical numa potência simples que podemos integrar diretamente.

Passo 2

Definimos a substituição
t = \ln x,
portanto
dt = \frac{dx}{x}.
Com isso o integrando fica
\int \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int \frac{dt}{\sqrt{t}}.

Passo 3

Observamos que
\frac{1}{\sqrt{t}} = t^{-1/2},
logo a integral transforma-se num caso de potência:
\int t^{-1/2}\,dt.

Passo 4

Integramos a potência usando a regra \int t^{\alpha}dt = t^{\alpha+1}/(\alpha+1):
\int t^{-1/2}\,dt = \frac{t^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\,t^{1/2} + C.
Voltando à variável x com t=\ln x, obtemos
2\sqrt{\ln x} + C.

Resposta

2\sqrt{\ln x} + C

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