Questão 4. Sejam dados
. Sabendo que
para todo
, determine, quando for possivel, os valores de
e
para que a função
seja contínua sobre todo
.
Passo 1
O enunciado define
e pede valores de
e
que tornem
contínua em todo
. Trata-se de remover possíveis descontinuidades em
e
por extensão contínua (discontinuidades removíveis).
Passo 2
Para que a descontinuidade em
seja removível, o limite
deve existir e ser finito. Como o denominador se anula em
, precisamos que o numerador também se anule em
, ou seja
deve existir e ser finito. Como o denominador
As soluções são
Caso
não seja um inteiro ímpar, não há como definir
para garantir continuidade.
Passo 3
Supondo
, aplicamos o Teorema de l’Hôpital para calcular
Derivando numerador e denominador em relação a
:
Logo,
Mas
. Portanto
Passo 4
Analogamente, para
ser removível, exige-se
e então
Resposta
Os valores que tornam
contínua em todo
existem somente se
Nesses casos define-se
Se
ou
não for inteiro ímpar, não há extensão contínua possível em todo
.