Questão 4. Sejam dados a, b \in \mathbb{R}. Sabendo que
f(x)=\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} x\right)}{(x-a)(x-b)}
para todo x \in \mathbb{R}, x \neq a, b, determine, quando for possivel, os valores de f(a) e f(b) para que a função f seja contínua sobre todo \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)}{(x-a)(x-b)},\qquad x\neq a,b,
e pede valores de f(a) e f(b) que tornem f contínua em todo \mathbb{R}. Trata-se de remover possíveis descontinuidades em x=a e x=b por extensão contínua (discontinuidades removíveis).

Passo 2

Para que a descontinuidade em x=a seja removível, o limite \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)
deve existir e ser finito. Como o denominador (x-a)(x-b) se anula em x=a, precisamos que o numerador também se anule em x=a, ou seja
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}a\bigr)=0.
As soluções são
\tfrac{\pi}{2}a = \tfrac{(2k+1)\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad a=2k+1,\quad k\in\mathbb{Z}.
Caso a não seja um inteiro ímpar, não há como definir f(a) para garantir continuidade.

Passo 3

Supondo a=2k+1, aplicamos o Teorema de l’Hôpital para calcular
f(a)=\lim_{x\to a}\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)}{(x-a)(x-b)}.
Derivando numerador e denominador em relação a x:
\text{num}'(x)=-\tfrac{\pi}{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr), \qquad \text{den}'(x)=2x-(a+b).
Logo,
f(a) =\lim_{x\to a}\frac{\text{num}'(x)}{\text{den}'(x)} =\frac{-\tfrac{\pi}{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}a\bigr)}{2a-(a+b)} =-\frac{\pi}{2}\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}a\bigr)}{a-b}.
Mas \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}a\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}(2k+1)\bigr)=(-1)^k. Portanto
\boxed{f(a)=-\frac{\pi}{2}\,\frac{(-1)^k}{\,a-b\,}}\quad\text{com \(a=2k+1\).}

Passo 4

Analogamente, para x=b ser removível, exige-se
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}b\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad b=2m+1,\;m\in\mathbb{Z},
e então
f(b) =\lim_{x\to b}f(x) =-\frac{\pi}{2}\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}b\bigr)}{b-a} =-\frac{\pi}{2}\,\frac{(-1)^m}{\,b-a\,}.

Resposta

Os valores que tornam f contínua em todo \mathbb{R} existem somente se
a=2k+1,\quad b=2m+1,\quad k,m\in\mathbb{Z}.
Nesses casos define-se
f(a)=-\frac{\pi}{2}\,\frac{(-1)^k}{\,a-b\,}, \qquad f(b)=-\frac{\pi}{2}\,\frac{(-1)^m}{\,b-a\,}.
Se a ou b não for inteiro ímpar, não há extensão contínua possível em todo \mathbb{R}.

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