Questão 2 (6 pontos). Calcule, caso existir, os seguintes limites
v) lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.
Aqui usamos ideias de limite em \infty, em que termos de ordem menor em x tornam-se desprezíveis, e fatoração de \sqrt{x} para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos \sqrt{x} debaixo da raiz no denominador:
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}}.

Passo 3

Analisamos o termo que fica dentro da raiz:
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} =\frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{x} =\frac{1}{\sqrt{x}}\;\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}.
Como x\to+\infty, temos \frac{1}{\sqrt{x}}\to0 e, portanto,
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}\to0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}\to\sqrt{1+0}=1.

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão do passo 2, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}} =\frac{1}{1}=1.

Resposta

1

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