Questão 3. Prove que a função
f(x)=\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}
é contínua e estritamente crescente sobre todo \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}
sobre todo \mathbb{R} e pede para provar que f é contínua e estritamente crescente.
Conteúdo: propriedades de funções pedaço a pedaço (piecewise), continuidade de \sqrt{\;\cdot\;} e monotonicidade do piso e da raiz quadrada.

Passo 2

Analisamos f em cada intervalo [n,n+1), com n\in\mathbb{Z}. Nesse intervalo \lfloor x\rfloor=n é constante, então
f(x)=n+\sqrt{x-n}\,,\quad x\in[n,n+1).
Como a função x\mapsto\sqrt{x-n} é contínua e estritamente crescente em [n,n+1), segue que f também é contínua e estritamente crescente em cada [n,n+1).

Passo 3

Agora verificamos a continuidade em um ponto inteiro k.
Limite à esquerda: se x\to k^- então \lfloor x\rfloor=k-1 e
f(x)=(k-1)+\sqrt{x-(k-1)}\xrightarrow[x\to k^-](k-1)+\sqrt{1}=k.
Limite à direita: se x\to k^+ então \lfloor x\rfloor=k e
f(x)=k+\sqrt{x-k}\xrightarrow[x\to k^+]k+0=k.
Como f(k)=\lfloor k\rfloor+\sqrt{k-\lfloor k\rfloor}=k+0=k, concluímos que f é contínua em x=k. Como k era geral, f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Para mostrar que f é estritamente crescente em \mathbb{R}, tomemos x<y.
Caso 1: se \lfloor x\rfloor=\lfloor y\rfloor, então x,y estão no mesmo intervalo [n,n+1) e do Passo 2 vem
f(x)=n+\sqrt{x-n}<n+\sqrt{y-n}=f(y).
Caso 2: se \lfloor y\rfloor\ge\lfloor x\rfloor+1, então
f(x)=\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}<\lfloor x\rfloor+1\le\lfloor y\rfloor\le f(y),
pois \sqrt{x-\lfloor x\rfloor}<1. Logo f(x)<f(y) sempre que x<y.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R} e estritamente crescente em todo \mathbb{R}.

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