é contínua e estritamente crescente sobre todo \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)=\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}
sobre todo \mathbb{R} e pede para provar que f é contínua e estritamente crescente.
Conteúdo: propriedades de funções pedaço a pedaço (piecewise), continuidade de \sqrt{\;\cdot\;} e monotonicidade do piso e da raiz quadrada.
Passo 2
Analisamos f em cada intervalo [n,n+1), com n\in\mathbb{Z}. Nesse intervalo \lfloor x\rfloor=n é constante, então
f(x)=n+\sqrt{x-n}\,,\quad x\in[n,n+1).
Como a função x\mapsto\sqrt{x-n} é contínua e estritamente crescente em [n,n+1), segue que f também é contínua e estritamente crescente em cada [n,n+1).
Passo 3
Agora verificamos a continuidade em um ponto inteiro k.
Limite à esquerda: se x\to k^- então \lfloor x\rfloor=k-1 e
Limite à direita: se x\to k^+ então \lfloor x\rfloor=k e
f(x)=k+\sqrt{x-k}\xrightarrow[x\to k^+]k+0=k.
Como f(k)=\lfloor k\rfloor+\sqrt{k-\lfloor k\rfloor}=k+0=k, concluímos que f é contínua em x=k. Como k era geral, f é contínua em todo \mathbb{R}.
Passo 4
Para mostrar que f é estritamente crescente em \mathbb{R}, tomemos x<y.
Caso 1: se \lfloor x\rfloor=\lfloor y\rfloor, então x,y estão no mesmo intervalo [n,n+1) e do Passo 2 vem
f(x)=n+\sqrt{x-n}<n+\sqrt{y-n}=f(y).
Caso 2: se \lfloor y\rfloor\ge\lfloor x\rfloor+1, então