Questão 1 (2 pontos). Sejam
\begin{aligned} & f(x)=2 \sin ^{3} x-\sin ^{2} x-8 \sin x+4 \\\ & g(x)=\sin \left(\frac{6 x-\pi}{12}\right) \sin \left(\frac{6 x-5 \pi}{12}\right) \end{aligned}
mostre que \{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=0\}=\{x \in \mathbb{R} \mid g(x)=0\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de soluções de
f(x)=2\sin^3 x-\sin^2 x-8\sin x+4=0
coincide com o conjunto de soluções de
g(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{6x-\pi}{12}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{6x-5\pi}{12}\bigr)=0.
O conteúdo envolve fatorar um polinômio em \sin x e resolver equações trigonométricas do tipo \sin(\cdot)=0 ou \sin x=\tfrac12.

Passo 2

Definimos s=\sin x. Então
f(x)=2s^3 - s^2 - 8s + 4.
Para achar as raízes desse polinômio em s, usamos fatoração por agrupamento:
2s^3 - s^2 - 8s + 4 = (2s^3 - 8s) + (-s^2 + 4) = 2s(s^2-4) - (s^2-4) = (2s-1)(s^2-4).

Passo 3

Continuando a fatoração, escrevemos
(s^2-4)=(s-2)(s+2),
logo
f(x)=(2s-1)(s-2)(s+2).
Como \sin x\in[-1,1], as raízes reais possíveis são dadas apenas por
2s-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=\tfrac12.

Passo 4

A equação \sin x=\tfrac12 tem como soluções gerais
x = \tfrac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \tfrac{5\pi}{6} + 2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Portanto
\{x\mid f(x)=0\} =\Bigl\{\,\tfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

Passo 5

Agora, para g(x)=0 temos o produto
\sin\!\bigl(\tfrac{6x-\pi}{12}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{6x-5\pi}{12}\bigr)=0,
então basta cada fator ser zero:
1. \sin\bigl(\tfrac{6x-\pi}{12}\bigr)=0
\tfrac{6x-\pi}{12}=m\pi \quad\Longrightarrow\quad 6x-\pi=12m\pi \quad\Longrightarrow\quad x=2m\pi+\tfrac{\pi}{6}.
2. \sin\bigl(\tfrac{6x-5\pi}{12}\bigr)=0
\tfrac{6x-5\pi}{12}=n\pi \quad\Longrightarrow\quad 6x-5\pi=12n\pi \quad\Longrightarrow\quad x=2n\pi+\tfrac{5\pi}{6}.
Juntando,
\{x\mid g(x)=0\} =\Bigl\{\tfrac{\pi}{6}+2m\pi,\;\tfrac{5\pi}{6}+2n\pi\mid m,n\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

Passo 6

Comparando os conjuntos, vemos que eles são exatamente iguais.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)=0\} =\{x\in\mathbb{R}\mid g(x)=0\}.

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