1́a Questão: Considerando a função f(x)=2 x^3 / 2-6 x^1 / 2, determine:
(e) as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^3/2-6x^1/2
definida para x>=0 (pois aparece x^1/2). Pede-se identificar assíntotas verticais (pontos em que f(x)topminfty em algum limite lateral) e assíntotas horizontais (retas y=L com limxtoinftyf(x)=L ou limxto-inftyf(x)=L). Aqui só faz sentido olhar xto0^+ e xto+infty.

Passo 2

Para assíntotas verticais analisamos comportamentos em bordas do domínio e pontos de possível descontinuidade. O único ponto crítico é x=0.
Calculamos
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(2x^3/2-6x^1/2r) =-6limxto0^+x^1/2+2limxto0^+x^3/2 =0
Como o limite é finito, não há assíntota vertical em x=0. Não há outros pontos onde f seja indefinida, portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para assíntotas horizontais examinamos
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyl(2x^3/2-6x^1/2r)
O termo dominante é 2x^3/2to+infty, logo limxto+inftyf(x)=+infty. Assim não existe valor finito L com limxtoinftyf(x)=L. Não há, portanto, assíntota horizontal.

Resposta

Não existem assíntotas verticais nem horizontais.

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