Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
\int \frac{x^{3}}{\left(x^{2}+2\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\,dx.
Informações importantes que temos:
  • A função a integrar é uma função racional (quociente de polinômios).
  • O denominador é \left(x^{2}+2\right)^{2}. Note que x^{2}+2>0 para todo x, então não há problemas com sinais no logaritmo mais à frente.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o numerador para facilitar a integração por substituição. Observe que podemos escrever x^{3} como x vezes algo que envolva x^{2}+2. Faça assim:
x^{3} = x\bigl(x^{2}\bigr) = x\bigl((x^{2}+2)-2\bigr) = x(x^{2}+2) - 2x.
Essa identidade é útil porque aparece x^{2}+2 no denominador.

Passo 3

Substituindo essa decomposição na integranda obtemos uma soma de termos mais simples:
\frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x(x^{2}+2) - 2x}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x(x^{2}+2)}{(x^{2}+2)^{2}} - \frac{2x}{(x^{2}+2)^{2}}.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{x(x^{2}+2)}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+2}.
Portanto a integranda se separa como
\frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+2} - \frac{2x}{(x^{2}+2)^{2}}.

Passo 4

Agora vamos usar a substituição clássica para expressões do tipo x multiplicando função de x^{2}+2. Defina
u = x^{2}+2.
Então derive ambos os lados em relação a x:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Essa relação permite transformar integrais em x em integrais em u.

Passo 5

Reescrevendo a integral original usando a decomposição e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du, temos
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx = \int \left( \frac{x}{x^{2}+2} - \frac{2x}{(x^{2}+2)^{2}} \right)\,dx.
Separe em duas integrais:
\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx \;-\; 2\int \frac{x}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx.
Agora troque para u:
  • Na primeira integral, \dfrac{x}{x^{2}+2}\,dx = \dfrac{1}{u}\, (x\,dx) = \dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\dfrac{du}{u}.
  • Na segunda integral, \dfrac{x}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx = \dfrac{1}{u^{2}}\,(x\,dx) = \dfrac{1}{u^{2}}\cdot \dfrac{1}{2}\,du = \dfrac{1}{2}\dfrac{du}{u^{2}}.
Portanto
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} \;-\; 2\cdot\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}}.
Simplificando os coeficientes:
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} \;-\; \int \frac{du}{u^{2}}.

Passo 6

Agora integramos em u. Lembrando as primitivas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
  • \displaystyle \int u^{-2}\,du = \int \frac{du}{u^{2}} = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.
Aplicando:
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u|, \qquad \int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u}.
Portanto
\int \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln|u| - \left(-\frac{1}{u}\right) + C = \frac{1}{2}\ln|u| + \frac{1}{u} + C.

Passo 7

Volte à variável x substituindo u = x^{2}+2. Como x^{2}+2>0 para todo x, pode-se retirar as barras do valor absoluto no logaritmo caso prefira. Assim a primitiva fica (expressa em x):
F(x) = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) + \frac{1}{x^{2}+2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro): calcule F'(x).
  • Derivando o primeiro termo: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+2)\right) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x}{x^{2}+2} = \dfrac{x}{x^{2}+2}.
  • Derivando o segundo termo: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x^{2}+2}\right) = -\dfrac{2x}{(x^{2}+2)^{2}}.
    Somando:
F'(x) = \frac{x}{x^{2}+2} - \frac{2x}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x(x^{2}+2) - 2x}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}},
que é exatamente a integranda original. Tudo confere!

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr) + \frac{1}{x^{2}+2} + C

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