Calcule as integrais das funções racionais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações importantes que temos:
- A função a integrar é uma função racional (quociente de polinômios).
- O denominador é
. Note que para todo , então não há problemas com sinais no logaritmo mais à frente. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o numerador para facilitar a integração por substituição. Observe que podemos escrever
como
vezes algo que envolva
. Faça assim:
Essa identidade é útil porque aparece
no denominador.
Passo 3
Substituindo essa decomposição na integranda obtemos uma soma de termos mais simples:
Simplificando o primeiro termo:
Portanto a integranda se separa como
Passo 4
Agora vamos usar a substituição clássica para expressões do tipo
multiplicando função de
. Defina
Então derive ambos os lados em relação a
:
Essa relação permite transformar integrais em
em integrais em
.
Passo 5
Reescrevendo a integral original usando a decomposição e
, temos
Separe em duas integrais:
Agora troque para
:
- Na primeira integral,
- Na segunda integral,
Portanto
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora integramos em
. Lembrando as primitivas básicas:
-
. -
Aplicando:
Portanto
Passo 7
Volte à variável
substituindo
. Como
para todo
, pode-se retirar as barras do valor absoluto no logaritmo caso prefira. Assim a primitiva fica (expressa em
):
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro): calcule
.
- Derivando o primeiro termo:
- Derivando o segundo termo:
Somando:
que é exatamente a integranda original. Tudo confere!