1al Questão ( 6 pontos):
Resolva a seguinte equação diferencial:
Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente de um tipo que podemos separar as variáveis. Isso significa que vamos arrumar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
fiquem do outro. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e conhecimentos básicos de cálculo, como integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso quer dizer que vamos organizar a equação para ter todos os termos com
de um lado e com
do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Agora, conseguimos separar os termos de
e
.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação. Integramos o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos juntar tudo e simplificar as constantes de integração. Igualamos as duas expressões:
Podemos combinar
e
em uma única constante
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.