1al Questão ( 6 pontos):
Resolva a seguinte equação diferencial:
y^prime=y cos (x)(1+2 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
y^prime = y cos (x)1 + 2 y^2
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente de um tipo que podemos separar as variáveis. Isso significa que vamos arrumar a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e todos os termos com x fiquem do outro. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e conhecimentos básicos de cálculo, como integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso quer dizer que vamos organizar a equação para ter todos os termos com y de um lado e com x do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por (1 + 2 y^2) e dividindo por y :
(1 + 2 y^2) , dy = cos(x) , dx
Agora, conseguimos separar os termos de y e x .

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação. Integramos o lado esquerdo em relação a y e o lado direito em relação a x :
integral (1 + 2 y^2) , dy = integral cos(x) , dx
Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
integral 1 , dy + 2 integral y^2 , dy = y + 23 y^3 + C1
Do lado direito:
integral cos(x) , dx = sin(x) + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Vamos juntar tudo e simplificar as constantes de integração. Igualamos as duas expressões:
y + 23 y^3 + C1 = sin(x) + C2
Podemos combinar C1 e C2 em uma única constante C :
y + 23 y^3 = sin(x) + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y + 23 y^3 = sin(x) + C
Onde C é a constante de integração.

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