Considere a função
(a) Calcule o vetor gradiente
.
(b) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
(b) Calcule a derivada direcional de
Passo 1
Estamos com a função
O objetivo é achar o vetor gradiente (derivadas parciais) e depois a derivada direcional em (1,1) na direção de
.
Passo 2
Para calcular as derivadas parciais usamos a regra do quociente. Primeiro, para
:
Passo 3
De forma análoga, para
aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Portanto o vetor gradiente é
Passo 5
Para a derivada direcional, primeiro normalizamos
. O módulo é
, então o vetor unitário é
Passo 6
A derivada direcional em (1,1) é
Como
segue que o produto escalar com qualquer vetor é zero, logo
derivada direcional zero.
derivada direcional zero.
Passo 7
Concluímos que a derivada direcional é zero, pois o gradiente em (1,1) se anula.
Resposta
Vetor gradiente:
Derivada direcional em (1,1) na direção de
: