Considere a função
f(x, y)=x yx^2+y^2, (x, y) neq(0,0)
(a) Calcule o vetor gradiente nabla f(x, y).
(b) Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção de v=(-1,2).

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=xyx^2+y^2,(x,y)neq(0,0)
O objetivo é achar o vetor gradiente (derivadas parciais) e depois a derivada direcional em (1,1) na direção de vec v=(-1,2).

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais usamos a regra do quociente. Primeiro, para partial f/partial x:
partial fpartial x =y,(x^2+y^2)-xycdot2x(x^2+y^2)^2 =yx^2+y^3-2x^2y(x^2+y^2)^2 =y(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

De forma análoga, para partial f/partial y aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial y =x,(x^2+y^2)-xycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^3+xy^2-2xy^2(x^2+y^2)^2 =x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Portanto o vetor gradiente é
nabla f(x,y)=l(y(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,;x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2r)

Passo 5

Para a derivada direcional, primeiro normalizamos vec v=(-1,2). O módulo é |vec v|=raiz(-1)^2+2^2=raiz5, então o vetor unitário é
hat u=l(-tfrac1raiz5,;tfrac2raiz5r)

Passo 6

A derivada direcional em (1,1) é
Dhat uf(1,1)=nabla f(1,1)cdothat u
Como
nabla f(1,1)=l(1(1^2-1^2)(1+1)^2,;1(1^2-1^2)(1+1)^2r)=(0,0),
segue que o produto escalar com qualquer vetor é zero, logo
derivada direcional zero.

Passo 7

Concluímos que a derivada direcional é zero, pois o gradiente em (1,1) se anula.

Resposta

Vetor gradiente:
nabla f(x,y)=l(y(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,;x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2r)
Derivada direcional em (1,1) na direção de vec v=(-1,2):
Dvec vf(1,1)=0

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