Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=1x, y=1x^2, com x=2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y=1x, y=1x^2, x=2
Esse é um problema de área entre duas curvas, então vamos usar integração em x, subtraindo a função de baixo da de cima, entre os pontos de interseção.

Passo 2

Encontrar o ponto onde as duas curvas se cruzam resolvendo
1x = 1x^2
Multiplicando por x^2 (supondo xneq0) obtemos x = 1. Então a região está entre x=1 e x=2.

Passo 3

Determinar qual curva está acima em 1 <= x <= 2. Para x>1 vale
1x > 1x^2
Logo y=1/x é o limite superior e y=1/x^2 é o limite inferior.

Passo 4

Formulação da integral de área A:
A = integralx=1^2 l(1x - 1x^2r),dx

Passo 5

Calcular cada termo:
integral1^21x,dx = l[ln(x)r]1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2),
integral1^21x^2,dx = integral1^2x^-2,dx = l[-x^-1r]1^2 = l(-tfrac12r) - l(-1r) = tfrac12
Subtraindo,
A = ln(2) - tfrac12

Resposta

A = ln(2) - 12

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