Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=1+raizx, y=x+33

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = 1 + raizx e y = x+33.
O conteúdo é cálculo de área por integração e vamos precisar determinar os pontos de interseção e qual curva fica acima na região, para escolher a variável de integração.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
1 + raizx ;=; x+33
Multiplicando por 3:
3 + 3raizx = x + 3 Longrightarrow 3raizx = x Longrightarrow x(x - 9) = 0
Logo x = 0 ou x=9.
Em x=0 temos y=1 e em x=9 temos y=4.
Portanto as interseções são (0,1) e (9,4).

Passo 3

Para 0 <= x <= 9 comparamos as ordens:
por exemplo, em x=1,
1+raiz1=2 e 1+33=43approx1,33,
logo 1+raizx está acima de tfracx+33.
Assim escolhemos integrar em x, subtraindo a curva de baixo da de cima.

Passo 4

A área vale
integralx=0^9l[l(1+raizxr)-x+33r],dx ;=; integral0^9l(raizx-tfracx3r),dx

Passo 5

Calculamos cada termo:
integral0^9 raizx,dx = 23x^3/2|0^9 = 23cdot27 = 18,
integral0^9x3,dx = 13cdotx^22|0^9 = 13cdot812 = 272
Portanto a área é
18 ;-;272 ;=;36-272 ;=;92

Resposta

A área da região é 92.

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