Considere um sistema constituído por duas partículas, cada uma das quais pode estar em um dos três estados quânticos com respectivas energias 0, \epsilon e 3 \epsilon. O sistema está em contato com um reservatório térmico à temperatura T=(k \beta)^{-1}.
Qual é Z se as partículas obedecem à estatística de Fermi-Dirac (FD)?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema canônico com N=2 férmions não-interagentes, em que cada férmion pode ocupar um dos três níveis de energia \{0,\epsilon,3\epsilon\}. Estamos em contato com reservatório térmico à temperatura T=(k\beta)^{-1}. Como são férmions, vale o Princípio de Exclusão de Pauli: cada nível único só pode estar ocupado por, no máximo, um férmion. Precisamos montar a função de partição
Z=\sum_{\text{estados com }N=2}e^{-\beta E_{\text{total}}}\,.

Passo 2

Listamos todas as configurações possíveis de dois férmions em níveis distintos. Como há três níveis, as combinações de dois níveis distintos são:
\{0,\epsilon\},\quad \{0,3\epsilon\},\quad \{\epsilon,3\epsilon\}.
Em cada caso, a energia total é a soma das energias ocupadas.

Passo 3

Calculamos as energias totais de cada configuração:
E_{0,\epsilon}=0+\epsilon=\epsilon,\quad E_{0,3\epsilon}=0+3\epsilon=3\epsilon,\quad E_{\epsilon,3\epsilon}=\epsilon+3\epsilon=4\epsilon.

Passo 4

Montamos a função de partição somando os pesos de Boltzmann de cada estado permitido:
Z = e^{-\beta\,\epsilon} + e^{-3\beta\,\epsilon} + e^{-4\beta\,\epsilon}\,.

Resposta

Z = e^{-\beta\epsilon} + e^{-3\beta\epsilon} + e^{-4\beta\epsilon}\,.

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