1.Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem(dependente de t ): y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0
a.(4 pontos)Encontre a solução geral e avalie o comportamento da função para valores de t \rightarrow \pm \infty
b.(3 pontos)Resolva o problema de valor inicial para y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1
c.(2 pontos)Encontre o(s)ponto(s)crítico(s)da solução e avalie se é um ponto de mínimo ou um ponto de máximo e desenhe o gráfico para o intervalo [0, \infty)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = 0,
pede (a) a solução geral e o comportamento quando t\to\pm\infty, (b) a solução que satisfaz y(0)=2 e y'(0)=1, e (c) os pontos críticos dessa solução, classificando-os como máximo ou mínimo e esboçando o gráfico em [0,\infty). Vamos usar o método da equação característica e depois análise de derivadas.

Passo 2

Para achar a solução geral, montamos a equação característica
r^2 + 4r + 3 = 0.
Fatorando,
(r+1)(r+3)=0,
logo as raízes são r=-1 e r=-3. Portanto a solução geral é
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t}.
Como e^{-t} e e^{-3t} tendem a zero quando t\to+\infty, qualquer combinação não trivial também tende a zero. Quando t\to-\infty, ambos explodem para +\infty (se C_1 ou C_2\neq0), de modo que y(t)\to+\infty.

Passo 3

Para satisfazer as condições iniciais, calculamos
y(0)=C_1+C_2=2,
e
y'(t) = -C_1 e^{-t} -3C_2 e^{-3t},
logo
y'(0) = -C_1 - 3C_2 =1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\\ -\,C_1 - 3C_2 = 1, \end{cases}
acha-se C_2=-\tfrac{3}{2} e C_1=\tfrac{7}{2}. Assim a solução particular é
y(t) = \frac{7}{2}e^{-t} - \frac{3}{2}e^{-3t}.

Passo 4

Para os pontos críticos, impomos y'(t)=0:
-\tfrac{7}{2}e^{-t} + \tfrac{9}{2}e^{-3t} = 0 \;\Longrightarrow\; 9e^{-3t} = 7e^{-t} \;\Longrightarrow\; e^{2t} = \tfrac{9}{7} \;\Longrightarrow\; t = \tfrac12\ln\!\bigl(\tfrac{9}{7}\bigr).
Calculando a segunda derivada
y''(t) = \frac{7}{2}e^{-t} - \frac{27}{2}e^{-3t},
e avaliando em t=\tfrac12\ln(9/7) encontra-se y''<0. Portanto esse ponto é um máximo único.

Passo 5

No intervalo [0,\infty), y(0)=2 e y'(0)=1>0, então y cresce até o máximo em t=\tfrac12\ln(9/7) e depois decresce monotonicamente, aproximando-se de zero conforme t\to+\infty. O gráfico é um pico suave seguido de decaimento exponencial.

Resposta

(a) Solução geral
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-3t},
com y(t)\to0 quando t\to+\infty e y(t)\to+\infty quando t\to-\infty.
(b) Solução do PVI
y(t) = \frac{7}{2}e^{-t} - \frac{3}{2}e^{-3t}.
(c) Ponto crítico em
t = \tfrac12\ln\!\bigl(\tfrac{9}{7}\bigr),
que é um máximo. Gráfico em [0,\infty): cresce de y(0)=2 até esse ponto e depois decai para zero.

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