Para os sistemas dados a seguir: escreva-os na forma matricial, dê as soluções fundamentais e a solução geral .
x^{\prime}=-4 x+y+z
y^{\prime}=x+5 y-z
z^{\prime}=y-3 z

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x' = -4x + y + z,\\\ y' = x + 5y - z,\\\ z' = \;\;y - 3z.
O conteúdo é sistemas lineares de EDOs de primeira ordem. Vamos escrever na forma matricial, encontrar autovalores e autovetores, montar as soluções fundamentais e, por fim, a solução geral.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial \,X' = A\,X:
A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1\\\\ 1 & 5 & -1\\\\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}, \quad X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\z(t)\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -4-\lambda & 1 & 1\\[4pt] 1 & 5-\lambda & -1\\[4pt] 0 & 1 & -3-\lambda \end{pmatrix} =0.
Fazendo a expansão e fatorando, obtemos
\lambda^3 + 2\lambda^2 - 23\lambda - 60 = (\lambda-5)(\lambda+3)(\lambda+4)=0.
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = 5,\;\lambda_2 = -3,\;\lambda_3 = -4.]

Passo 4

Para cada [\lambda_i) achamos um autovetor v_i tal que (A-\lambda_i I)v_i=0.
1. \lambda_1=5:
(A-5I)v=0 leva ao sistema
\begin{cases} -9x + y + z = 0,\\\ \;x - z = 0,\\\ \;y - 8z=0. \end{cases}
Daí x=z,\;y=8z\]. Escolhendo \[z=1, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 8\\\ 1\end{pmatrix}.
2. \lambda_2=-3:
(A+3I)v=0
\begin{cases} -\,x + y + z=0,\\\ \;x +8y - z=0,\\\ \;y=0. \end{cases}
Daí y=0,\;z=x\]. Tomando \[x=1,
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
3. \lambda_3=-4:
(A+4I)v=0
\begin{cases} \;y + z=0,\\\ \;x+9y - z=0,\\\ \;y + z=0. \end{cases}
Daí y=-z,\;x=10z\]. Com \(z=1,
v_3 = \begin{pmatrix}10\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

As soluções fundamentais são
\phi_1(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 8\\\ 1\end{pmatrix}e^{5t},\quad \phi_2(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{-3t},\quad \phi_3(t) = \begin{pmatrix}10\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}e^{-4t}.

Passo 6

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções fundamentais:
X(t) = C_1\,\phi_1(t) + C_2\,\phi_2(t) + C_3\,\phi_3(t),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

\phi_1(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 8\\\ 1\end{pmatrix}e^{5t},\quad \phi_2(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{-3t},\quad \phi_3(t) = \begin{pmatrix}10\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}e^{-4t},
X(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\\ 8\\\ 1\end{pmatrix}e^{5t} +C_2\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}e^{-3t} +C_3\begin{pmatrix}10\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}e^{-4t}.

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