2.Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem(dependente de t):
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0
a.(4 pontos)Encontre a solução geral e avalie o comportamento da função para para valores de t \rightarrow \pm \infty
b.(4 pontos)Resolva o problema de valor inicial para y(0)=1 e y^{\prime}(0)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 9y = 0
e pede:
a) a solução geral e o comportamento de y(t) quando t\to\pm\infty;
b) a solução que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=4.

Passo 2

Para resolver, montamos a equação característica associada:
\lambda^2 + 6\lambda + 9 = 0.
Calculando o discriminante, vemos que
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot9 = 36 - 36 = 0,
logo há raiz dupla
\lambda = -3.

Passo 3

Quando a raiz \lambda=-3 é dupla, a solução geral da ODE é
y(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de y(t):
  • Para t\to +\infty, tanto e^{-3t} quanto t e^{-3t} vão a zero exponencialmente, então y(t)\to 0.
  • Para t\to -\infty, temos e^{-3t}=e^{3|t|}\to +\infty e t e^{-3t} também diverge em módulo (com sinal oposto a t), logo \lvert y(t)\rvert\to +\infty.

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Temos
y(0) = C_1 = 1
e, calculando y',
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(C_1 e^{-3t} + C_2 t e^{-3t}\bigr) = -3C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-3t} -3C_2 t e^{-3t},
logo em t=0
y'(0) = -3C_1 + C_2 = 4.
Como C_1=1, segue -3\cdot1 + C_2 =4, ou seja C_2=7. Portanto a solução do problema de valor inicial é
y(t) = e^{-3t} + 7t\,e^{-3t}.

Resposta

a) A solução geral é
y(t) = C_1 e^{-3t} + C_2\,t\,e^{-3t},
com y(t)\to0 quando t\to+\infty e \lvert y(t)\rvert\to+\infty quando t\to-\infty.
b) A solução que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=4 é
y(t) = e^{-3t} + 7t\,e^{-3t}.

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