2.Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem(dependente de t):
a.(4 pontos)Encontre a solução geral e avalie o comportamento da função para para valores de
b.(4 pontos)Resolva o problema de valor inicial para
e
.
b.(4 pontos)Resolva o problema de valor inicial para
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede:
a) a solução geral e o comportamento de quando
;
b) a solução que satisfaz e
.
a) a solução geral e o comportamento de
b) a solução que satisfaz
Passo 2
Para resolver, montamos a equação característica associada:
Calculando o discriminante, vemos que
logo há raiz dupla
Passo 3
Quando a raiz
é dupla, a solução geral da ODE é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
:
- Para
, tanto quanto vão a zero exponencialmente, então . - Para
, temos e também diverge em módulo (com sinal oposto a ), logo .
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais para determinar
e
.
Temos
Temos
e, calculando
,
logo em
Como
, segue
, ou seja
. Portanto a solução do problema de valor inicial é
Resposta
a) A solução geral é
com
quando
e
quando
.
b) A solução que satisfaz e
é
b) A solução que satisfaz