1.Determine a equação da hipérbole que passa pelos pontos (1,-3) e (4,6) , com centro na origem e reta focal igual ao eixo O X

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole com centro na origem, eixo focal sobre o eixo O X (ou seja, eixos transverso e conjugado paralelos a O X e O Y, respectivamente) que passe pelos pontos (1,-3) e (4,6).
Conteúdo: forma padrão da hipérbole centrada na origem com eixo transverso ao longo de O X:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
onde a^2>0 e b^2>0.

Passo 2

Substituímos cada ponto na equação padrão. Para (1,-3):
\frac{1^2}{a^2}-\frac{(-3)^2}{b^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1.
Para (4,6):
\frac{4^2}{a^2}-\frac{6^2}{b^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{16}{a^2}-\frac{36}{b^2}=1.

Passo 3

Defina
X=\frac1{a^2},\quad Y=\frac1{b^2}.
O sistema fica
\begin{cases} X-9Y=1,\\\\ 16X-36Y=1. \end{cases}

Passo 4

Multiplique a primeira equação por 4 e subtraia da segunda:
\begin{aligned} 4\,(X-9Y)&=4,\\\\ 16X-36Y&=1, \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad (16X-36Y)-(4X-36Y)=1-4 \;\Rightarrow\;-12X=-3 \;\Rightarrow\;X=-\tfrac14.
Logo
\frac1{a^2}=X=-\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad a^2=-4<0.
Isso já impede a^2>0. Ainda, de X-9Y=1 vem
-\tfrac14-9Y=1 \;\Rightarrow\; Y=-\tfrac{5}{36} \quad\Longrightarrow\quad b^2=-\tfrac{36}{5}<0.

Passo 5

Os dois parâmetros a^2 e b^2 saíram negativos, o que é incompatível com a forma real de uma hipérbole (exigem a^2>0 e b^2>0).

Resposta

Não existe hipérbole real centrada na origem, com eixo focal sobre O X, que passe pelos pontos (1,-3) e (4,6).

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