{ }^{a} Questão (35 pontos) Resolva o seguinte o sistemn
\begin{aligned} & \frac{1}{2} x^{\prime}(t)=x-\frac{1}{2} y, t>0 \\\ & t y^{\prime}(t)=-9 x+2 y, t>0 \end{aligned}
com condições iniciais x(1)=1 e y(1)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} \frac12\,x'(t)=x(t)-\frac12\,y(t),\\\ t\,y'(t)=-9\,x(t)+2\,y(t), \end{cases}\quad t>0,
com x(1)=1 e y(1)=2. Isso é um sistema linear de Euler (coeficientes em potências de t), e vamos buscar soluções da forma potência t^r.

Passo 2

Primeiro simplificamos cada equação isolando as derivadas:
da primeira obtém-se
x'(t)=2\,x(t)-y(t),
e da segunda
y'(t)=\frac{-9\,x(t)+2\,y(t)}{t}.

Passo 3

Proponho solução do tipo
x(t)=t^r,\quad y(t)=k\,t^r.
Substituindo em x'(t)=r\,t^{r-1} e em y'(t)=r\,k\,t^{r-1}, a primeira equação vira
r\,t^{r-1}=2\,t^r-k\,t^r \;\Longrightarrow\; r=2-k,
e a segunda, multiplicada por t, dá
r\,k\,t^r=-9\,t^r+2\,k\,t^r \;\Longrightarrow\; r\,k=-9+2\,k.

Passo 4

Das duas condições algébricas
r=2-k, \quad r\,k=2\,k-9,
substituímos r=2-k na segunda:
(2-k)\,k=2\,k-9 \;\Longrightarrow\; 2k-k^2=2k-9 \;\Longrightarrow\; k^2=9 \;\Longrightarrow\; k=3\\ \text{ou}\\ k=-3.
Para k=3 vem r=2-3=-1, e para k=-3 vem r=2-(-3)=5. Assim temos duas soluções independentes:
X_1(t)=\begin{pmatrix}t^{-1}\\\ 3\,t^{-1}\end{pmatrix}, \quad X_2(t)=\begin{pmatrix}t^5\\\ -3\,t^5\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral é combinação linear
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =C_1\,X_1(t)+C_2\,X_2(t) =\begin{pmatrix}C_1\,t^{-1}+C_2\,t^5\\\ 3\,C_1\,t^{-1}-3\,C_2\,t^5\end{pmatrix}.
Impondo x(1)=1\) e \(y(1)=2\) dá o sistema \[\begin{cases} C_1+C_2=1,\\\\ 3\,C_1-3\,C_2=2, \end{cases}
cuja solução é C_1=5/6\] e \(C_2=1/6. Logo:

Resposta

x(t)=\frac{5}{6}\,t^{-1}+\frac{1}{6}\,t^5, \quad y(t)=\frac{5}{2}\,t^{-1}-\frac{1}{2}\,t^5.

Exercícios relacionados