Questão (35 pontos) Resolva o seguinte o sistemn
com condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
com
e
. Isso é um sistema linear de Euler (coeficientes em potências de
), e vamos buscar soluções da forma potência
.
Passo 2
Primeiro simplificamos cada equação isolando as derivadas:
da primeira obtém-se
da primeira obtém-se
e da segunda
Passo 3
Proponho solução do tipo
Substituindo em
e em
, a primeira equação vira
e a segunda, multiplicada por
, dá
Passo 4
Das duas condições algébricas
substituímos
na segunda:
Para
vem
, e para
vem
. Assim temos duas soluções independentes:
Passo 5
A solução geral é combinação linear
Impondo
cuja solução é
. Logo: