Encontre uma soluçã para a equaçã diofantiva 3 x+5 y+6 z=4

Passo 1

O enunciado pede uma solução inteira para a equação Diofantina linear
3x + 5y + 6z = 4.
O conteúdo é resolução de equação linear em inteiros: primeiro verificamos se existe solução (pela divisibilidade do gcd) e depois encontramos um particular.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum dos coeficientes:
\gcd(3,5,6)=\gcd\bigl(\gcd(3,5),6\bigr)=\gcd(1,6)=1.
Como 1 divide 4, a equação admite solução inteira.

Passo 3

Para achar uma solução particular, fixamos z=0. A equação reduz– se a
3x + 5y = 4.
Usamos congruência módulo 5:
3x \equiv 4 \pmod{5}.
O inverso de 3 em \mathbb{Z}_5 é 2, pois 3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}. Portanto
x\equiv 2\cdot4 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5},
e podemos escolher x=3.

Passo 4

Substituindo x=3 em 3x+5y=4 temos
9 + 5y = 4 \quad\Longrightarrow\quad 5y = -5 \quad\Longrightarrow\quad y = -1.
Assim, uma solução inteira particular é
x = 3,\quad y = -1,\quad z = 0.

Resposta

(x,y,z)=(3,-1,0)

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