{ }^{a} Questão. (30 pontos) Se usarmos h=0,05 no método de Euler para resolver o PVI y^{\prime}+2 y=e^{-t}, y(0)=0,75, mostre que o erro no segundo passo é menor que 0,00125\left(1-e^{-0,1}\right).
Lembrete: \varphi\left(t_{n}+h\right)=\varphi\left(t_{n}\right)+\varphi^{\prime}\left(t_{n}\right) h+\frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}\left(E_{n}\right) h^{2}

Passo 1

O PVI é
y'+2y=e^{-t},\quad y(0)=0{,}75
e vamos aplicar o método explícito de Euler com passo h=0{,}05. O objetivo é estimar o erro no segundo passo, ou seja, para t_{2}=2h=0{,}1. O conteúdo envolve a expansão de Taylor da solução exata \varphi(t) para obter o erro local de truncamento.

Passo 2

Encontremos primeiro a solução exata \varphi(t). A equação linear
\varphi'+2\varphi=e^{-t}
tem fator integrante e^{2t}. Multiplicando ambos os lados por e^{2t} e integrando, obtemos
\bigl(\varphi\,e^{2t}\bigr)'=e^{t} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(t)e^{2t}=e^{t}+C \quad\Longrightarrow\quad \varphi(t)=e^{-t}+Ce^{-2t}.
Como \varphi(0)=0{,}75, temos 1+C=0{,}75, logo C=-0{,}25. Portanto
\varphi(t)=e^{-t}-0{,}25\,e^{-2t}.

Passo 3

Calculemos a segunda derivada \varphi''(t). Primeiro
\varphi'(t)=-e^{-t}+0{,}5\,e^{-2t},
de onde
\varphi''(t)=e^{-t}-e^{-2t}.

Passo 4

Pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange, para algum E_{1}\in[t_{1},t_{2}] vale
\varphi(t_{2}) =\varphi(t_{1})+\varphi'(t_{1})\,h +\tfrac12\,\varphi''(E_{1})\,h^{2}.
Já o método de Euler dá
y_{2} =\varphi(t_{1})+\varphi'(t_{1})\,h.
Logo o erro local de truncamento na passagem de t_{1} a t_{2} é
\tau_{1} =\varphi(t_{2})-y_{2} =\tfrac12\,\varphi''(E_{1})\,h^{2}.

Passo 5

Precisamos agora estimar \varphi''(E_{1}) para E_{1}\in[0{,}05,0{,}1]. Como
\varphi''(t)=e^{-t}-e^{-2t} =(1-e^{-t})\,e^{-t} \le 1-e^{-t} \le 1-e^{-0{,}1},
segue
|\tau_{1}|\le \tfrac12\,(1-e^{-0{,}1})\,h^{2} =\tfrac12\,(1-e^{-0{,}1})\,(0{,}05)^{2} =0{,}00125\,\bigl(1-e^{-0{,}1}\bigr).

Resposta

O erro no segundo passo satisfaz
|y(t_{2})-y_{2}|\le 0{,}00125\,\bigl(1-e^{-0{,}1}\bigr).

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