Questão. (30 pontos) Se usarmos
no método de Euler para resolver o PVI
, mostre que o erro no segundo passo é menor que
.
Lembrete:
Passo 1
O PVI é
e vamos aplicar o método explícito de Euler com passo
. O objetivo é estimar o erro no segundo passo, ou seja, para
. O conteúdo envolve a expansão de Taylor da solução exata
para obter o erro local de truncamento.
Passo 2
Encontremos primeiro a solução exata
. A equação linear
tem fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
e integrando, obtemos
Como
, temos
, logo
. Portanto
Passo 3
Calculemos a segunda derivada
. Primeiro
de onde
Passo 4
Pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange, para algum
vale
Já o método de Euler dá
Logo o erro local de truncamento na passagem de
a
é
Passo 5
Precisamos agora estimar
para
. Como
segue
Resposta
O erro no segundo passo satisfaz