Use multiplicadores de Lagrange para determinar o retângulo de perímetro 12 e área máxima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática para otimizar (no caso, maximizar) uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos achar as dimensões de um retângulo que tem perímetro 12 e que possui a maior área possível. Então, vamos precisar entender um pouco sobre otimização com restrições usando os multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de $ x $ e a largura de $ y $. A nossa função objetivo, que queremos maximizar, é a área $ A $ do retângulo:
A restrição que temos é o perímetro do retângulo, que deve ser 12. O perímetro de um retângulo é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a restrição para facilitar no cálculo:
Isso vai nos ajudar a relacionar $ x $ e $ y $ mais facilmente.
Passo 4
A técnica dos multiplicadores de Lagrange envolve criar uma nova função, chamada de Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição. A Lagrangiana $ \mathcal{L} $ é dada por:
Substituindo nossos valores:
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Para encontrar os valores ótimos de $ x $, $ y $ e $ \lambda $, vamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $ e igualar a zero:
Passo 6
Observamos que $ x = \lambda $ e $ y = \lambda $. Isso significa que $ x = y $. Substituindo isso na restrição $ x + y = 6 $:
Já que $ x = y $, então $ y = 3 $ também.
Resposta
O retângulo de perímetro 12 com a área máxima é um quadrado com lados iguais a 3 unidades cada.