2.1I Determine condições sobre as constantes
e
para que a função
atenda à equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede encontrar quais restrições sobre as constantes
fazem com que a função
satisfaça a equação de Laplace em duas variáveis, ou seja,
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Diferenciando novamente em
, obtemos
Passo 3
Agora a derivada parcial de
em relação a
:
Diferenciando novamente em
, obtemos
Passo 4
A equação de Laplace exige
Logo, a condição sobre
e
é
As constantes
,
,
e
não aparecem nessa soma de segundas derivadas, portanto são livres.
Resposta
A única condição é
enquanto
,
,
e
podem ser quaisquer valores.