2.1I Determine condições sobre as constantes A, B, C, D, E e F para que a função u(x, y)= A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F atenda à equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede encontrar quais restrições sobre as constantes A,B,C,D,E,F fazem com que a função
u(x,y)=A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F
satisfaça a equação de Laplace em duas variáveis, ou seja,
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de u em relação a x:
partial upartial x =2A x + B y + D
Diferenciando novamente em x, obtemos
partial^2upartial x^2 =2A

Passo 3

Agora a derivada parcial de u em relação a y:
partial upartial y = B x + 2C y + E
Diferenciando novamente em y, obtemos
partial^2upartial y^2 =2C

Passo 4

A equação de Laplace exige
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2 =2A + 2C = 0
Logo, a condição sobre A e C é
A + C = 0
As constantes B, D, E e F não aparecem nessa soma de segundas derivadas, portanto são livres.

Resposta

A única condição é
A + C = 0,
enquanto B, D, E e F podem ser quaisquer valores.

Exercícios relacionados