4 Questão - [Vale 2,0 pontos] Determine se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F).
(a) Se f for derivável então \frac{d}{d x}[f(\sqrt{x})]=\frac{f^{\prime}(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}.
(b) \frac{d}{d x}\left(10^{x}\right)=10^{x} \cdot \ln (10)
(c) Se f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sec} (x+h)-\operatorname{sec} (x)}{h}, então f^{\prime}(\pi / 4)=2 \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar três conteúdos principais de derivação:
  1. Regra da cadeia para funções compostas.
  2. Derivada de a^x.
  3. Derivadas de ordem superior de funções trigonométricas (no caso, secante).

Passo 2

Analisando (a):
Queremos
\frac{d}{dx}\bigl[f(\sqrt{x})\bigr].
Por regra da cadeia, se u=\sqrt{x} então
\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\,u',
e
u' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl[f(\sqrt{x})\bigr] = f'(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}},
que coincide exatamente com a afirmação. Portanto, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b):
Para g(x)=10^x usa-se a regra da derivada de a^x, que diz
\frac{d}{dx}\bigl(a^x\bigr)=a^x\ln(a).
Tomando a=10, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(10^x\bigr)=10^x\ln(10),
como afirmado. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c):
Define-se
f(x)=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sec}(x+h)-\operatorname{sec}(x)}{h},
ou seja, f(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x)\bigr]. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x)\bigr]=\operatorname{sec}(x)\tan(x),
então
f(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
A questão pede f'(\pi/4). Usando regra do produto:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr] =\operatorname{sec}'(x)\,\tan(x)+\operatorname{sec}(x)\,\tan'(x) =\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,\tan(x)+\operatorname{sec}(x)\,\operatorname{sec}^2(x) =\operatorname{sec}(x)\bigl(\tan^2(x)+\operatorname{sec}^2(x)\bigr).
Em x=\pi/4 temos \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2} e \tan(\pi/4)=1, então
f'(\pi/4) =\sqrt{2}\bigl(1^2+(\sqrt{2})^2\bigr) =\sqrt{2}(1+2) =3\sqrt{2}.
A afirmação dizia que f'(\pi/4)=2\sqrt{2}, o que não confere. Portanto, (c) é falsa.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) F

Exercícios relacionados