4 Questão - [Vale 2,0 pontos] Determine se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F).
(a) Se f for derivável então
.
(b)
(c) Se
, então
.
(a) Se f for derivável então
(b)
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar três conteúdos principais de derivação:
- Regra da cadeia para funções compostas.
- Derivada de
. - Derivadas de ordem superior de funções trigonométricas (no caso, secante).
Passo 2
Analisando (a):
Queremos
Queremos
Por regra da cadeia, se
então
e
Logo
que coincide exatamente com a afirmação. Portanto, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b):
Para usa-se a regra da derivada de
, que diz
Para
Tomando
, obtemos
como afirmado. Logo, (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c):
Define-se
Define-se
ou seja,
. Sabemos que
então
A questão pede
. Usando regra do produto:
Em
temos
e
, então
A afirmação dizia que
, o que não confere. Portanto, (c) é falsa.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) F
(b) V
(c) F