3.1L Calcule a integral dupla de
sobre a região delimitada pela cardióide
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região em coordenadas polares limitada pela cardioide
O conteúdo usado aqui é dupla integral em coordenadas polares, lembrando que
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e a região
vem de
Logo a integral vira
Passo 3
Calculamos primeiro a integral em
:
Portanto
Passo 4
Expandimos o binômio:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Na integração de
a
, os termos com potências ímpares de
se anulam. Ficam só
Passo 6
Usando fórmulas padrão,
Então
Passo 7
Voltando ao fator
, concluímos