3.1L Calcule a integral dupla de f(x, y)=x^2 sobre a região delimitada pela cardióide r= 1-cos theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR x^2,dA
onde R é a região em coordenadas polares limitada pela cardioide
;r = 1 - costheta
O conteúdo usado aqui é dupla integral em coordenadas polares, lembrando que
;x = rcostheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^2 = r^2cos^2theta, dA = r,dr,dtheta,
e a região R vem de
0 <= r <= 1 - costheta, 0 <= theta <= 2pi
Logo a integral vira
integral duplaRx^2,dA =integral0^2pi!integral0^1-costheta l(r^2cos^2thetar),r,dr,dtheta =integral0^2picos^2theta l(integral0^1-costhetar^3,drr),dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^1-costhetar^3,dr =[r^44]0^1-costheta =(1-costheta)^44
Portanto
integral duplaRx^2,dA =14integral0^2picos^2theta,(1-costheta)^4,dtheta

Passo 4

Expandimos o binômio:
(1-costheta)^4 =1-4costheta+6cos^2theta-4cos^3theta+cos^4theta
Multiplicando por cos^2theta obtemos
cos^2theta(1-costheta)^4 =cos^2theta -4cos^3theta +6cos^4theta -4cos^5theta +cos^6theta

Passo 5

Na integração de 0 a 2pi, os termos com potências ímpares de costheta se anulam. Ficam só
integral0^2picos^2theta,dtheta, integral0^2picos^4theta,dtheta, integral0^2picos^6theta,dtheta

Passo 6

Usando fórmulas padrão,
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^2picos^4theta,dtheta=tfrac3pi4, integral0^2picos^6theta,dtheta=tfrac5pi8
Então
integral0^2picos^2theta(1-costheta)^4,dtheta =pi +6cdot3pi4 +5pi8 =49pi8

Passo 7

Voltando ao fator tfrac14, concluímos
integral duplaRx^2,dA =14cdot49pi8 =49pi32

Resposta

integral duplaRx^2,dA = 49pi32

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