Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
(d) integral duplaD raizx^2+y^2 d A, D: 0 <= x <= 3,0 <= y <= x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral duplaDraizx^2+y^2;dA,
onde D é o triângulo dado por 0<= x<=3 e 0<= y<= x. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, em que
;x=rcostheta,;y=rsintheta,;dA=r,dr,dtheta
e raizx^2+y^2=r.

Passo 2

Precisamos descrever D em (r,theta). As restrições são:
  • y>=0 e x>=0 dão 0<=theta<=pi/2.
  • y<= x implica tantheta<=1, ou seja theta<=pi/4.
  • x<=3 vira rcostheta<=3, logo 0<= r<=3/costheta.
    Portanto
0<=theta<=tfracpi4, 0<= r<=3costheta

Passo 3

Na integral mudamos raizx^2+y^2,dA para rcdot(r,dr,dtheta)=r^2,dr,dtheta. Assim
integral duplaDraizx^2+y^2;dA =integraltheta=0^pi/4integralr=0^3/costhetar^2,dr,dtheta
Calculando a integral em r:
integral0^3/costhetar^2,dr =l[tfracr^33r]0^3/costheta =(3/costheta)^33 =273cos^3theta =9cos^3theta

Passo 4

A integral vira então
integral0^pi/49sec^3theta,dtheta
Usamos a primitiva
integralsec^3theta,dtheta =tfrac12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r),
logo
integral0^pi/49sec^3theta,dtheta =92l[secthetatantheta+ln(sectheta+tantheta)r]0^pi/4

Passo 5

Avaliaremos em theta=pi/4 e theta=0:
  • Para theta=pi/4: sectheta=raiz2,;tantheta=1, então
    secthetatantheta=raiz2 e ln(sectheta+tantheta)=ln(raiz2+1).
  • Para theta=0: sec0=1,;tan0=0 dá soma nula.
    Assim o resultado é
92l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

Resposta

integral duplaDraizx^2+y^2;dA =92l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

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