1o) (2,0 pontos). Suponha que 1,00 \mathrm{~L} de um gás com \gamma=1,30, inicialmente a 273 K e 1,00 \mathrm{~atm}, é comprimido adiabaticamente, de forma brusca, para metade do volume inicial. Determine (a) a pressão final e em seguida, (b) se o gás é resfriado para 273 K, qual é o volume final?

Passo 1

O enunciado fornece um gás ideal monoatómico (ou poliatómico qualquer) com \gamma = 1{,}30, volume inicial V_{1}=1{,}00\;\mathrm{L}, temperatura inicial T_{1}=273\;\mathrm{K} e pressão inicial P_{1}=1{,}00\;\mathrm{atm}. Ele é comprimido reversivelmente e adiabaticamente até V_{2}=V_{1}/2. Pede-se:
(a) a pressão final P_{2};
(b) após isso, o gás é resfriado até T_{3}=273\;\mathrm{K} mantendo P=P_{2}, e quer-se o volume final V_{3}.
Conteúdos usados: lei dos gases ideais e processo adiabático reversível P\,V^{\gamma}=\mathrm{const}.

Passo 2

No processo adiabático reversível vale
P_{1}\,V_{1}^{\gamma}=P_{2}\,V_{2}^{\gamma}
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P_{2}=P_{1}\,\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma} =1{,}00\;\mathrm{atm}\times\Bigl(\frac{1{,}00}{0{,}50}\Bigr)^{1{,}30} =1{,}00\times2^{1{,}30}\;\mathrm{atm}.

Passo 3

Calculando numericamente
2^{1{,}30}=2\cdot2^{0{,}30} =2\;\exp\bigl(0{,}30\ln2\bigr) \approx2\times1{,}231 \approx2{,}46,
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P_{2}\approx2{,}46\;\mathrm{atm}.

Passo 4

Para a parte (b), determinamos primeiro a nova temperatura T_{2} após a compressão adiabática usando
T_{2}=T_{1}\,\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1} =273\;\mathrm{K}\times2^{0{,}30} \approx273\times1{,}231 \approx337\;\mathrm{K}.

Passo 5

O resfriamento até T_{3}=273\;\mathrm{K} é feito a pressão constante P_{2}. Pela lei dos gases ideais, P\,V/T= constante, temos
\frac{V_{3}}{V_{2}}=\frac{T_{3}}{T_{2}} \quad\Longrightarrow\quad V_{3}=V_{2}\,\frac{T_{3}}{T_{2}} =0{,}50\;\mathrm{L}\times\frac{273}{337} \approx0{,}50\times0{,}810 \approx0{,}405\;\mathrm{L}.

Resposta

(a) P_{2}\approx2{,}46\;\mathrm{atm}
(b) V_{3}\approx0{,}405\;\mathrm{L}

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