Um objeto de massa
é lançado verticalmente para cima com uma velocidade
. Considere a aceleração da gravidade,
, constante e uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja,
.
(a) Encontre a velocidade
em função do tempo durante a subida do objeto.
(b) Mostre que o tempo para atingir o ponto mais alto da trajetória é dado por
(c) Mostre que a posição
em função do tempo é dada por:
(a) Encontre a velocidade
(b) Mostre que o tempo para atingir o ponto mais alto da trajetória é dado por
Passo 1
O enunciado trata do lançamento vertical para cima de um corpo de massa
com velocidade inicial
, sob ação da gravidade constante
e de uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, isto é,
Vamos usar a segunda lei de Newton e resolver a equação diferencial para a velocidade, depois obter o tempo até o ponto mais alto e, por fim, integrar a velocidade para achar a posição em cada fase (subida e descida).
Passo 2
Durante a subida temos
, logo
Separamos variáveis:
Fazendo a substituição
a integral no lado esquerdo dá
Passo 3
Isolando
, obtemos para
(fase da subida):
Passo 4
O ponto mais alto ocorre quando
, isto é,
Passo 5
Para achar
na subida integramos
Com a mudança de variável
e
, chega-mos a
Passo 6
Na descida
, a equação vira
cuja solução é
Integramos então de
até
, usando
, para obter
Resposta
(a)
(b)
(c)