As lacunas de energia dos semicondutores intrínsecos de silício e germânio são 1,14 e 0,67 eV , respectivamente.
(a) Calcule a probabilidade \mathrm{f}(\mathrm{E}) de que um estado no fundo da banda de condução ser ocupado por elétron para ambos os semicondutores na temperatura ambiente ( 300 K ). Considere o topo da banda de valência como o zero da energia.
(b) Qual das duas substâncias deveria ter maior densidade de portadores de carga à temperatura ambiente? E à temperatura do zero absoluto? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a probabilidade de ocupação por elétron de um estado no fundo da banda de condução, isto é,
f(E_c)=\frac{1}{1+\exp\bigl(\frac{E_c - E_F}{kT}\bigr)}
para silício ( E_g=1{,}14\\ \mathrm{eV}) e germânio ( E_g=0{,}67\\ \mathrm{eV}) à temperatura ambiente ( T=300\\ \mathrm K). Em seguida, comparar qual deles tem maior densidade de portadores a 300\\ \mathrm K e em 0\\ \mathrm K.

Passo 2

Para semicondutor intrínseco, o nível de Fermi E_F fica aproximadamente no meio da “lacuna”:
E_F \approx \frac{E_v + E_c}{2} = \frac{0 + E_g}{2} = \frac{E_g}{2}.
Como normalmente E_c - E_F \gg kT, podemos aproximar
f(E_c)\approx \exp\Bigl(-\frac{E_c - E_F}{kT}\Bigr)\,.

Passo 3

Substituindo E_c=E_g e E_c - E_F = E_g/2, fica
f(E_c)\approx \exp\Bigl(-\frac{E_g}{2\,kT}\Bigr).
O valor de kT a 300\\ \mathrm K é
kT = (8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K})\times300\\ \mathrm K \approx 0{,}02585\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Para o silício ( E_g=1{,}14\\ \mathrm{eV}):
\frac{E_g}{2\,kT} = \frac{1{,}14}{2\times0{,}02585}\approx22{,}05 \quad\Longrightarrow\quad f_{\text{Si}}(E_c)\approx e^{-22{,}05}\approx2{,}7\times10^{-10}.

Passo 5

Para o germânio ( E_g=0{,}67\\ \mathrm{eV}):
\frac{E_g}{2\,kT} = \frac{0{,}67}{2\times0{,}02585}\approx12{,}96 \quad\Longrightarrow\quad f_{\text{Ge}}(E_c)\approx e^{-12{,}96}\approx2{,}3\times10^{-6}.

Passo 6

A densidade intrínseca de elétrons n_i cresce com f(E_c). Como f_{\text{Ge}}\gg f_{\text{Si}}, o germânio terá muito mais portadores livres a 300\\ \mathrm K.

Passo 7

A 0\\ \mathrm K, a distribuição de Fermi vira um degrau em E_F. Como E_c>E_F,
f(E_c)=0
para ambos os semicondutores, logo não há portadores livres em nenhum deles.

Resposta

(a) f_{\text{Si}}(E_c) \approx 2{,}7 \times 10^{-10}, \quad f_{\text{Ge}}(E_c) \approx 2{,}3 \times 10^{-6}.
(b) À temperatura ambiente, o germânio tem maior densidade de portadores. À 0\\ \mathrm{K}, ambos têm densidade de portadores nula.

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