Os vetores primitivos que geram rede cúbica com corpo centrado (CCC) são:
\vec{a}_{1}=\frac{a}{2}(\hat{y}+\hat{z}-\hat{x}), \vec{a}_{2}=\frac{a}{2}(\hat{z}+\hat{x}-\hat{y}), \vec{a}_{3}=\frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y}-\hat{z})
onde \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} anotam vetores unitários ao longo dos eixos cartesianos, e a é o parâmetro da rede cúbica. Determine os vetores primitivos da rede recíproca \left(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right) para estrutura CCC. Apresente todas as contas.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores primitivos da rede CCC (corpo centrado)
\vec{a}_{1} = \frac{a}{2}(-\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}),\quad \vec{a}_{2} = \frac{a}{2}(\hat{x} - \hat{y} + \hat{z}),\quad \vec{a}_{3} = \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} - \hat{z})
e pede os vetores primitivos da rede recíproca \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}.
Para isso, usamos a definição
\vec{b}_{i} = 2\pi\,\frac{\vec{a}_{j}\times\vec{a}_{k}}{\vec{a}_{1}\cdot(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3})}
com (i,j,k) em permutação cíclica de (1,2,3). Precisamos calcular os produtos vetoriais e o volume V=\vec{a}_{1}\cdot(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}).

Passo 2

Calculamos o produto vetorial \vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}. Em componentes,
\vec{a}_{2} = \frac{a}{2}(1,-1,1),\quad \vec{a}_{3} = \frac{a}{2}(1,1,-1).
Logo
\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3} = \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}(1,-1,1)\times(1,1,-1) = \frac{a^{2}}{4}(0,2,2).

Passo 3

Agora o volume V da célula primitiva é
V = \vec{a}_{1}\cdot(\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}) = \frac{a}{2}(-1,1,1)\cdot\frac{a^{2}}{4}(0,2,2) = \frac{a^{3}}{8}(0+2+2) = \frac{a^{3}}{2}.

Passo 4

Usando \vec{b}_{1} = 2\pi\,\dfrac{\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}}{V}, temos
\frac{\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}}{V} = \frac{\frac{a^{2}}{4}(0,2,2)}{\frac{a^{3}}{2}} = \frac{1}{2a}(0,2,2) = \bigl(0,\tfrac{1}{a},\tfrac{1}{a}\bigr),
portanto
\vec{b}_{1} = 2\pi\bigl(0,\tfrac{1}{a},\tfrac{1}{a}\bigr) = \frac{2\pi}{a}(\hat{y}+\hat{z}).

Passo 5

Calculamos \vec{a}_{3}\times\vec{a}_{1}:
(1,1,-1)\times(-1,1,1) = (2,0,2)\quad\Longrightarrow\quad \vec{a}_{3}\times\vec{a}_{1} = \frac{a^{2}}{4}(2,0,2) = \bigl(\tfrac{a^{2}}{2},0,\tfrac{a^{2}}{2}\bigr).
Dividindo por V=\tfrac{a^{3}}{2} \bigl(\tfrac{1}{a},0,\tfrac{1}{a}\bigr) e, multiplicando por 2\pi,
\vec{b}_{2} = \frac{2\pi}{a}(\hat{x}+\hat{z}).

Passo 6

Calculamos \vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}:
(-1,1,1)\times(1,-1,1) = (2,2,0)\quad\Longrightarrow\quad \vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2} = \frac{a^{2}}{4}(2,2,0) = \bigl(\tfrac{a^{2}}{2},\tfrac{a^{2}}{2},0\bigr).
Dividindo por V=\tfrac{a^{3}}{2} \bigl(\tfrac{1}{a},\tfrac{1}{a},0\bigr) e, com 2\pi,
\vec{b}_{3} = \frac{2\pi}{a}(\hat{x}+\hat{y}).

Resposta

\displaystyle \vec{b}_{1} = \frac{2\pi}{a}(\hat{y}+\hat{z}),\quad \vec{b}_{2} = \frac{2\pi}{a}(\hat{z}+\hat{x}),\quad \vec{b}_{3} = \frac{2\pi}{a}(\hat{x}+\hat{y}).

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