(1pt) Dois condutotes cinlindricos de mesmo comprimento L são feitos do mesmo material. UM deles é maciço e seu raio é R_{a}. O outro é uma coroa cilíndrica, de raio menor R_{b} e raio maior R_{a}. Calcule as resistências de cada fio e a razão entre elas.

Passo 1

O enunciado dá dois fios cilíndricos de mesmo comprimento L e mesmo material (logo mesma resistividade \rho). Um é maciço com raio R_{a} e o outro é uma coroa cilíndrica (tubo) com raio interno R_{b} e raio externo R_{a}. Vamos usar a fórmula da resistência elétrica
R = \rho\,\frac{L}{A}
onde A é a área da seção reta.

Passo 2

Para o fio maciço de raio R_{a} a área da seção reta é
A_{\text{maciço}} = \pi\,R_{a}^{2}ç
Logo sua resistência é
R_{\text{maciço}} = \rho\,\frac{L}{\pi\,R_{a}^{2}}\,.ç

Passo 3

Para a coroa cilíndrica a seção reta é a área do anel entre os raios R_{b} e R_{a}:
A_{\text{coroa}} = \pi\bigl(R_{a}^{2} - R_{b}^{2}\bigr)
Portanto
R_{\text{coroa}} = \rho\,\frac{L}{\pi\bigl(R_{a}^{2} - R_{b}^{2}\bigr)}\,.

Passo 4

A razão entre as resistências pode ser R_{\text{coroa}}/R_{\text{maciço}}ç ou o inverso. Se escolhermos
\frac{R_{\text{coroa}}}{R_{\text{maciço}}} = \frac{\displaystyle \rho\,\frac{L}{\pi\bigl(R_{a}^{2} - R_{b}^{2}\bigr)}}{\displaystyle \rho\,\frac{L}{\pi\,R_{a}^{2}}} = \frac{R_{a}^{2}}{R_{a}^{2} - R_{b}^{2}}\,.ç
Também podemos escrever
\frac{R_{\text{maciço}}}{R_{\text{coroa}}} = 1 - \frac{R_{b}^{2}}{R_{a}^{2}}\,.ç

Resposta

R_{\text{maciço}} = \displaystyle \rho\,\frac{L}{\pi\,R_{a}^{2}} R_{\text{coroa}} = \displaystyle \rho\,\frac{L}{\pi\bigl(R_{a}^{2} - R_{b}^{2}\bigr)} \displaystyle \frac{R_{\text{coroa}}}{R_{\text{maciço}}} = \frac{R_{a}^{2}}{R_{a}^{2} - R_{b}^{2}} \displaystyle \frac{R_{\text{maciço}}}{R_{\text{coroa}}} = 1 - \frac{R_{b}^{2}}{R_{a}^{2}}ççç

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