(1pts) \int \frac{x^{3}+2 x^{2}+x-1}{x^{2}-3 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}+2 x^{2}+x-1}{x^{2}-3 x+2}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá e que devemos observar:
\,
\bullet O numerador é o polinômio x^{3}+2x^{2}+x-1 (grau 3).\n
\bullet O denominador é o polinômio x^{2}-3x+2 (grau 2).\n
\bullet Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é esperado que façamos divisão polinomial para obter uma parte polinomial mais uma fração própria antes de integrar.

Passo 2

Primeiro passo prático: fazer a divisão polinomial de
\frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{x^{2}-3x+2}.
Mini-aula sobre divisão polinomial: quando dividimos um polinômio P(x) por outro Q(x) (com \deg P\ge\deg Q), o resultado é um quociente S(x) e um resto R(x) com \deg R<\deg Q, tal que
P(x)=Q(x)S(x)+R(x),
logo
\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}.
Aplicando aqui: dividimos termo a termo.
  1. x^{3} dividido por x^{2} x. Multiplicando o divisor por x obtemos
x\cdot(x^{2}-3x+2)=x^{3}-3x^{2}+2x.
Subtraindo de x^{3}+2x^{2}+x-1 obtemos o resto parcial
( x^{3}+2x^{2}+x-1 ) - (x^{3}-3x^{2}+2x) = 5x^{2}-x-1.
  1. Agora 5x^{2} dividido por x^{2} +5. Multiplicando o divisor por 5 obtemos
5\cdot(x^{2}-3x+2)=5x^{2}-15x+10.
Subtraindo do resto parcial:
(5x^{2}-x-1)-(5x^{2}-15x+10)=14x-11.
Agora o resto 14x-11 tem grau menor que o do divisor, então paramos.
Logo a divisão dá quociente x+5 e resto 14x-11. Portanto
\frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{x^{2}-3x+2}=x+5+\frac{14x-11}{x^{2}-3x+2}.
Assim a integral original fica
\int \frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{x^{2}-3x+2}\,dx = \int \bigg(x+5+\frac{14x-11}{x^{2}-3x+2}\bigg)\,dx.

Passo 3

Integrando a parte polinomial x+5 (mini-aula rápida sobre integrais de potências e constantes):
\,
Fórmulas usadas:
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1),\qquad \int a\,dx = a x + C.
Aplicando,
\int (x+5)\,dx = \int x\,dx + \int 5\,dx = \frac{x^{2}}{2}+5x.

Passo 4

Agora vamos integrar a fração própria \dfrac{14x-11}{x^{2}-3x+2}\). Mini-aula sobre decomposição em frações parciais: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, usamos a forma \[\frac{\text{numerador}}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},
onde A,B são constantes a determinar. Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto buscamos A,B tais que
\frac{14x-11}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2) obtemos a identidade polinomial
14x-11 = A(x-2)+B(x-1).
Expandindo o lado direito:
A(x-2)+B(x-1)=(A+B)x+(-2A-B).
Comparando coeficientes (mini-aula: igualar coeficientes de x e termo independente):
\begin{cases} A+B=14,\\[4pt] -2A-B=-11. \end{cases}
Resolvendo: da primeira B=14-A\]. Substituindo na segunda: \[-2A-(14-A)=-11 \Rightarrow -2A-14+A=-11 \Rightarrow -A-14=-11 \Rightarrow -A=3 \Rightarrow A=-3.\] Então \(B=14-(-3)=17.
Portanto
\frac{14x-11}{x^{2}-3x+2}=\frac{-3}{x-1}+\frac{17}{x-2}.]

Passo 5

Integramos agora cada termo da decomposição (mini-aula sobre integral do tipo 1/(x-a)):
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Aplicando linearidade:
\int \frac{14x-11}{x^{2}-3x+2}\,dx = \int\left(\frac{-3}{x-1}+\frac{17}{x-2}\right)\,dx = -3\ln|x-1|+17\ln|x-2|.

Passo 6

Somando a parte polinomial integrada (Passo 3) com a parte logarítmica (Passo 5) e adicionando a constante de integração, obtemos a integral completa:
\int \frac{x^{3}+2x^{2}+x-1}{x^{2}-3x+2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}+5x -3\ln|x-1|+17\ln|x-2|+C.
Se quiser, pode-se combinar os logaritmos em um único logarítmo multiplicativo, mas não é necessário.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+5x-3\ln|x-1|+17\ln|x-2|+C

Exercícios relacionados