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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá e que devemos observar:
O numerador é o polinômio
(grau
).\n
O denominador é o polinômio
(grau
).\n
Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, é esperado que façamos divisão polinomial para obter uma parte polinomial mais uma fração própria antes de integrar.
Passo 2
Primeiro passo prático: fazer a divisão polinomial de
Mini-aula sobre divisão polinomial: quando dividimos um polinômio
por outro
(com
), o resultado é um quociente
e um resto
com
, tal que
logo
Aplicando aqui: dividimos termo a termo.
-
dividido por dá . Multiplicando o divisor por obtemos
Subtraindo de
obtemos o resto parcial
- Agora
dividido por dá . Multiplicando o divisor por obtemos
Subtraindo do resto parcial:
Agora o resto
tem grau menor que o do divisor, então paramos.
Logo a divisão dá quociente
e resto
. Portanto
Assim a integral original fica
Passo 3
Integrando a parte polinomial
(mini-aula rápida sobre integrais de potências e constantes):
Fórmulas usadas:
Fórmulas usadas:
Aplicando,
Passo 4
Agora vamos integrar a fração própria
onde
são constantes a determinar. Primeiro fatoramos o denominador:
Portanto buscamos
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes (mini-aula: igualar coeficientes de
e termo independente):
Resolvendo: da primeira
.
Portanto
Passo 5
Integramos agora cada termo da decomposição (mini-aula sobre integral do tipo
):
Aplicando linearidade:
Passo 6
Somando a parte polinomial integrada (Passo 3) com a parte logarítmica (Passo 5) e adicionando a constante de integração, obtemos a integral completa:
Se quiser, pode-se combinar os logaritmos em um único logarítmo multiplicativo, mas não é necessário.